1. 記事の目的 下記の記事で二次形式について述べた。本記事では、二次形式を用いて、二次曲線および二次曲面を分類する。分類は、数学の主要な問題の一つである。 2. 幾何ベクトルの座標変換 空間(平面)の座標系とは、一点と、幾何ベクトル空間 ( )の一つの…
1. 記事の目的 本記事では、二次形式について述べる。二次形式の零点全体は、放物線などの図形である。二次形式を用いることで、放物線などの二次曲線の分類を代数的(文字式の変形によって)に行うことができる。二次形式には標準形と呼ばれる形がある。この…
1. 記事の目的 下記の記事で、エルミート変換について述べた。本記事ではエルミート変換を実数上のベクトル空間に制限したものである、対称変換について述べる。 camelsan.hatenablog.com 2. 対称変換の対角化 実数上の線形空間の線型変換の特性根は、実数と…
1. 記事の目的 下記の記事で、正規変換の特別な場合であるエルミート変換を導入し、固有値の言葉で特徴づけた。本記事では、エルミート変換について詳細に述べる。 camelsan.hatenablog.com 2. 正値エルミート変換 エルミート変換が正値であることを述べる。…
1. 記事の目的 下記の記事で正規変換とその対角化について述べた。本記事では、射影子と呼ばれるものを用いて、正規変換を分解する方法(スペクトル分解)について述べる。スペクトル分解の応用として、正規変換がエルミート変換およびユニタリ変換になるため…
1. 記事の目的 下記の記事で、計量ベクトル空間について述べた。 camelsan.hatenablog.com 計量ベクトル空間の間の線型変換の対角化について述べる。特に、正規変換と呼ばれる変換の対角化について述べる。対角化については下記の記事を参照。 camelsan.hate…
1. 記事の目的 本記事では、線形空間の固有値と固有ベクトルについて述べる。本記事では、 またはとする。 2. 固有値と固有ベクトルの定義 を上の線形空間、をの線型変換とする。 をで写しても、方向が変わらないベクトル、即ち となるを、固有ベクトル、こ…
1. 記事の目的 以下の記事で計量ベクトル空間について述べた。本記事では、計量ベクトル空間の計量同型写像である、ユニタリ変換について述べる。また、その行列表示にあたる、ユニタリ行列について述べる。ユニタリ行列は計量ベクトル空間の線型変換の対角…
1. 記事の目的 下記の記事でベクトル空間について述べた。本記事ではベクトル空間に「計量」を導入すると、基底やそのベクトル空間がどのように述べられるかを見る。 本記事では、またはを表すものとする。 camelsan.hatenablog.com 2. 計量ベクトル空間の定…
1. 記事の目的 以下の記事で、基底の定義と基底を使った次元の定義について述べた。本記事では、基底の変換行列およびベクトル空間の間の線形写像の、行列による表現について述べる。 camelsan.hatenablog.com camelsan.hatenablog.com 本記事では、常にまた…
1. 記事の目的 以下の記事で、部分空間と次元に関して述べた。一般に部分空間の和空間の次元は、和に分ける前の部分空間の次元の和に一致するとは限らない。このとき一致する場合の部分空間の分け方を、部分空間の直和という。本記事では部分空間の直和の定…
1. 記事の目的 以下の記事で、部分空間の定義について述べた。本記事では、部分空間の次元(ベクトル空間としての次元)で成り立つ定理を証明する。 camelsan.hatenablog.com 2. 線形写像による部分空間の次元 定理2.1 を部分空間、をからへの線形写像、をの零…
1. 記事の目的 以下の記事でベクトル空間について述べた。ベクトル空間の部分集合で、同じ演算に関して再びベクトル空間になるような集合を、そのベクトル空間の部分空間という。本記事では部分空間の定義について述べる。 camelsan.hatenablog.com 2. 部分…
1. 記事の目的 以下の記事でベクトル空間の次元について述べた。基底とはベクトル空間の元を線型結合として表す基本的な元のことであったが、その存在性を示した。本記事では基底の個数の一意性を示し、その個数として、ベクトル空間の次元を定義する。 came…
1. 記事の目的 以下の記事で、ベクトルの線型独立性について述べた。本記事では、線型独立性を使用して、ベクトル空間の基底を定義する。ベクトル空間の任意の元をいくつかの基本的な元(これを基底という)を用いて表すことを考える。本記事では特に、基底の…
1. 記事の目的 本記事では、線型独立の定義に関して述べる。線型独立は、ベクトル空間の基底や次元の定義を理解する上で重要なものである(ベクトル空間については以下の記事を参照)。 camelsan.hatenablog.com 2. 線型独立とは 線型独立とは、2次元の幾何ベ…
1. 記事の目的 以下の最初の記事で、ベクトル空間について述べた。本記事では、ベクトル空間の間の写像である線型写像について述べる。写像に関しては以下の2番目の記事で述べている。 camelsan.hatenablog.com camelsan.hatenablog.com 線形写像は、定義域…
1. 記事の目的 本記事では、ベクトル空間の定義を述べる。ベクトル空間は、行列全体の空間や幾何ベクトルの集合を一般化した集合である。代数的には、和とスカラー倍を有する集合のことである。本記事では集合と写像の知識を仮定している。集合と写像に関し…
1. 記事の目的 次の記事で集合について定義と演算について述べた。ここでは、集合間の対応関係を規定する、写像について述べる。 camelsan.hatenablog.com 2. はじめに 「写像」という言葉は幸いにも、２ちゃんねるの創設者である、ひろゆき氏により、「写像…
1. 記事の目的 現代数学は、主に集合及び集合と集合の間の関係を記述する写像を使用して、議論を行う。例えば、線型代数においては、平面ベクトルを抽象化したベクトルの集合(線型空間)を使用して議論を行う。ここではその基礎として、集合の定義と集合の演…
1. 記事の目的 以下の記事で、行列式の定義とその性質について述べた。本記事では行列式の展開方法である余因子展開について述べ、連立一次方程式の解法への応用について述べる。 camelsan.hatenablog.com camelsan.hatenablog.com 2. 余因子 次正方行列の第…
1. 記事の目的 以下の記事で、行列式を定義した。本記事では、行列式の性質に関して述べる。 camelsan.hatenablog.com 2. 転置行列と行列式 最初に行列の転置と呼ばれる操作を定義する。行列 に対し、成分を成分に移動させた行列 を作る。この操作を行列の転…
1. 記事の目的 以下の記事で、置換について述べた。置換を用いて、行列式と呼ばれるものを定義する。行列式を用いて、行列の階数を求めたり、連立方程式の解を求めることができる。 camelsan.hatenablog.com 2. 行列式の意味 行列式を一般的に定義する前に、…
1. 記事の目的 以下の記事で連立方程式の解法について述べた。本記事では、連立方程式のその他の解法である、クラメルの解法や、行列式と呼ばれるもので重要となる置換に関して述べる。置換は、現代数学のあらゆる重要な部分で出現し(ワイル理論、写像類群な…
1. 記事の目的 Pythonが急に動作できなくなった時の対処法を備忘録として記す。 2. 確認環境 Mac OS Catalina version 10.15.7 Python 3.8.5 3. 発生する問題 Home brewで、他のソフトウェアをインストールした後に、pythonが動かず、 pyenv: No such file o…
1. 記事の目的 以下の記事で、行列の基本変形と行列の階数について述べた。本記事ではこれらの概念を用いて、連立一次方程式の開放について解説する。 camelsan.hatenablog.com camelsan.hatenablog.com 2. 連立一次方程式 中学生の時に、未知変数二つに対し…
お題「#この1年の変化」 この1年の変化は世間的にも、自分自身にとっても凄まじい変化の年だった。某ウイルスに対する変化に関してはもううんざりとするほど多くの人が感じています。なので、ここでは私自身の「生きやすさ」という価値観の変化に関して述べ…
1. 記事の目的 本記事ではMac OSを用いて、Pythonでプログラミングを行うための環境構築に関して解説を行う。Mac OSではターミナルでlinuxコマンドを用いて開発ができる。またVisual Studio Codeをダウンロードしてエディタとしても扱える。本記事ではviエデ…
1. 記事の目的 以下の記事で逆行列に関して述べた。 camelsan.hatenablog.com しかし、逆行列の具体的な計算方法を述べずにいた。ここで、以下の記事で行列の階数を導入した。行列の階数を使って逆行列を求める方法に関する定理を証明することができる。 cam…
1. 記事の目的 以下の記事で、行列の基本変形に関して述べた。本記事では基本変形を利用して、行列の階数という概念を導入する。行列の回数を導入すると、連立方程式が解けるための条件を記述することができる。 camelsan.hatenablog.com 2. 定理 行列の階数…
