ベイジアン研究所

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【線形代数学入門】行列の演算(和とスカラー倍)

1. 記事の目的
以下の記事で行列の定義を述べた。本記事では行列の演算(和とスカラー倍)に関して述べる。

camelsan.hatenablog.com

2. 行列の和
2つの(m,n)型行列ABに対して、行列の和A+Bを次のように定義する。A+Bの各成分は、対応するABの成分の和とする。即ち、

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}

のとき、

A=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix}

となる。

例:

A=\begin{pmatrix}1&3\\5&2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix}

のとき、

A+B=\begin{pmatrix}1+1&3+1\\5+3&2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\8&5\end{pmatrix}

となる。

3. 行列のスカラー
縦ベクトルや横ベクトルに対して、一つの数からなる数、例えば2などをスカラーと呼ぶ。スカラー倍とは、スカラーを掛けて得られる結果のことである。実数値のスカラーcに対して、(m,n)型行列AcによるスカラーcAを次のように定義する。cAの各成分は、対応するAの成分をc倍した数とする。即ち、

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}

のとき、

cA=\begin{pmatrix}ca_{11} & ca_{12} & \dots & ca_{1n} \\ca_{21} & ca_{22} & \dots & ca_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \dots & ca_{mn} \end{pmatrix}

となる。

例:

A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}

のとき、

2A=\begin{pmatrix}2\times 1&2\times 2\\2\times 2&2\times 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}

となる。

特に、(-1)A-Aで表し、A+((-1)B)=A+(-B)A-Bで表す。

  1. 行列の和とスカラー倍の演算法則 成分が全て0であるような(m,n)型行列を(m,n)型零行列といい、O_{m,n}と書く。mnを省略して、Oと書くこともある。

行列に関しては次の演算法則(和の結合法則、交換法則など)が成り立つ。ABC(m,n)型の行列とし、cdスカラーとする。

(A+B)+C=A+(B+C) \tag{1}
A+B=B+A \tag{2}
c(A+B)=cA+cB \tag{3}
(c+d)A=A+(B+C) \tag{4}
(cd)A=c(dA) \tag{5}
1A=A, OA=O \tag{6}

以下でこれらを証明する(数学では1点の曇りもなく正しいことを言うことを証明と言う)。

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \dots & c_{mn} \end{pmatrix}

とする。

(1)の証明:

\begin{split}(A+B)+C &=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix}+C \ \ \ \ \text{(A+Bを先に計算)}\\ &=\begin{pmatrix}(a_{11}+b_{11})+c_{11} & (a_{12}+b_{12})+c_{12} & \dots & (a_{1n}+b_{1n})+c_{1n} \\(a_{21}+b_{21})+c_{12} & (a_{22}+b_{22})+c_{22} & \dots & (a_{2n}+b_{2n})+c_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ (a_{m1}+b_{m1})+c_{m1} & (a_{m2}+b_{m2})+c_{m2} & \dots & (a_{mn}+b_{mn})+c_{mn} \end{pmatrix}\ \ \ \ \text{(和の定義)} \\ &=\begin{pmatrix}a_{11}+(b_{11}+c_{11}) & a_{12}+(b_{12}+c_{12}) & \dots & a_{1n}+(b_{1n}+c_{1n}) \\a_{21}+(b_{21}+c_{12}) & a_{22}+(b_{22}+c_{22}) & \dots & a_{2n}+(b_{2n}+c_{2n}) \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}+(b_{m1}+c_{m1}) & a_{m2}+(b_{m2}+c_{m2}) & \dots & a_{mn}+(b_{mn}+c_{mn}) \end{pmatrix}\ \ \ \ \text{(各成分で通常の数の結合法則)} \\ &=A+(B+C) \ \ \ \ \text{(和の定義)}\end{split}

(2)の証明:

\begin{split}A+B&=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix}\ \ \ \  \text{(和の定義)} \\ &=\begin{pmatrix}b_{11}+a_{11} & b_{12}+a_{12} & \dots & b_{1n}+a_{1n} \\b_{21}+a_{21} & b_{22}+a_{22} & \dots & b_{2n}+a_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ b_{m1}+a_{m1} & b_{m2}+a_{m2} & \dots & b_{mn}+a_{mn} \end{pmatrix} \ \ \  \ \text{(各成分で通常の数の交換法則)} \\ &=B+A\ \ \ \ \text{(和の定義)} \end{split}

(3)の定義:

\begin{split}c(A+B)&=c\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{(行列の和の定義)}\\ &=\begin{pmatrix}c(a_{11}+b_{11}) & c(a_{12}+b_{12}) & \dots & c(a_{1n}+b_{1n}) \\c(a_{21}+b_{21}) & c(a_{22}+b_{22}) & \dots & c(a_{2n}+b_{2n}) \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ c(a_{m1}+b_{m1}) & c(a_{m2}+b_{m2}) & \dots & c(a_{mn}+b_{mn}) \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{(行列のスカラー倍の定義)} \\ &=\begin{pmatrix}ca_{11}+cb_{11} & ca_{12}+cb_{12} & \dots & ca_{1n}+cb_{1n} \\ca_{21}+cb_{21} & ca_{22}+cb_{22} & \dots & ca_{2n}+cb_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ ca_{m1}+cb_{m1} & ca_{m2}+cb_{m2} & \dots & ca_{mn}+cb_{mn} \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{(各成分で分配)} \\ &=\begin{pmatrix}ca_{11} & ca_{12} & \dots & ca_{1n} \\ca_{21} & ca_{22} & \dots & ca_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \dots & ca_{mn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}cb_{11} & cb_{12} & \dots & cb_{1n} \\cb_{21} & cb_{22} & \dots & cb_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ cb_{m1} & cb_{m2} & \dots & cb_{mn} \end{pmatrix}\ \ \ \ \text{(行列の和の定義)} \\ &=cA+cB \ \ \ \ \text{(行列のスカラー倍の定義)} \end{split}

(4)の証明:

\begin{split}(c+d)A&=\begin{pmatrix}(c+d)a_{11} & (c+d)a_{12} & \dots & (c+d)a_{1n} \\(c+d)a_{21} & (c+d)a_{22} & \dots & (c+d)a_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ (c+d)a_{m1} & (c+d)a_{m2} & \dots & (c+d)a_{mn} \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{(行列のスカラー倍の定義)} \\ &=\begin{pmatrix}ca_{11}+da_{11} & ca_{12}+da_{12} & \dots & ca_{1n}+da_{1n} \\ca_{21}+da_{21} & ca_{22}+da_{22} & \dots & ca_{2n}+da_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ ca_{m1}+da_{m1} & ca_{m2}+da_{m2} & \dots & ca_{mn}+da_{mn} \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{(各成分で分配)} \\ &=\begin{pmatrix}ca_{11} & ca_{12} & \dots & ca_{1n} \\ca_{21} & ca_{22} & \dots & ca_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \dots & ca_{mn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}ca_{11} & ca_{12} & \dots & ca_{1n} \\ca_{21} & ca_{22} & \dots & ca_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \dots & ca_{mn} \end{pmatrix}\ \ \ \ \text{(行列の和の定義)} \\ &=cA+dA \ \ \ \ \text{(行列のスカラー倍の定義)} \end{split}

(5)の証明:

\begin{split}(cd)A&=\begin{pmatrix}(cd)a_{11} & (cd)a_{12} & \dots & (cd)a_{1n} \\(cd)a_{21} & (cd)a_{22} & \dots & (cd)a_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ (cd)a_{m1} & (cd)a_{m2} & \dots & (cd)a_{mn} \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{(行列のスカラー倍の定義)} \\ &=\begin{pmatrix}c(da_{11}) & c(da_{12}) & \dots & c(da_{1n}) \\c(da_{21}) & c(da_{22}) & \dots & c(da_{2n}) \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ c(da_{m1}) & c(da_{m2}) & \dots & c(da_{mn}) \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{(各成分で分配)} \\ &=c\begin{pmatrix}da_{11} & da_{12} & \dots & da_{1n} \\da_{21} & da_{22} & \dots & da_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ da_{m1} & da_{m2} & \dots & da_{mn} \end{pmatrix} \ \ \ \text{(行列のスカラー倍の定義)} \\ &=c(dA) \ \ \ \ \text{(行列のスカラー倍の定義)} \end{split}

(6)の定義:

\begin{split}1A &=\begin{pmatrix}1\cdot a_{11} & 1\cdot a_{12} & \dots & 1\cdot a_{1n} \\1\cdot a_{21} & 1\cdot a_{22} & \dots & 1\cdot a_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 1\cdot a_{m1} & 1\cdot a_{m2} & \dots & 1\cdot a_{mn} \end{pmatrix}\ \ \ \ \text{(行列のスカラー倍の定義)} \\ &=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\ \ \ \ \text{(通常の数の計算)} \\ &=A\end{split}
\begin{split}0A &=\begin{pmatrix}0a_{11}& 0a_{12} & \dots &0a_{1n} \\0a_{21}& 0a_{22} & \dots & 0a_{2n}\\  \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 0a_{m1}& 0a_{m2}& \dots & 0a_{mn}\end{pmatrix}\ \ \ \ \text{(通常の数の計算)} \\ &= O\ \ \ \ \text{(零行列の定義)}\end{split}

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5. 参考文献
[1]線型代数入門