【線形代数学入門】行列の演算（積）

1. 記事の目的
以下の記事で行列の演算(和とスカラー倍)について述べた。本記事では行列の積に関して解説する。

camelsan.hatenablog.com

2. 行列の積
$A$ が $(l,m)$ 型行列、 $B$ が $(m,n)$ 型行列であるとき、積 $AB$ を $(l,n)$ 型行列として次のように定義する。 $(l,n)$ 型行列 $AB$ の $(i,j)$ 成分は、

$\displaystyle\sum_{s=1}^m a_{is}b_{sj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots +a_{im}b_{mj}\tag{1}$

とする。

(1)式の作り方は次のように考えられる。 $A$ の第 $i$ 行 $\textbf{a}$ と $B$ の第 $j$ 列 $\textbf{b}$ を取り出す。

$\textbf{a}=\begin{pmatrix}a_{i1} & a_{i2} &\dots & a_{im} \end{pmatrix}, \textbf{b}=\begin{pmatrix}b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{mj} \end{pmatrix}$

$\textbf{a}$ の一番上の成分と $\textbf{b}$ の一番左の成分をかけた値、 $\textbf{a}$ の上から２番目の成分と $\textbf{b}$ の左から２番目の成分をかけた値、・・・、 $\textbf{a}$ の１番下の成分と $\textbf{b}$ の一番左の成分をかけた値、を全て加える。 $A$ の行の長さと、 $B$ の列の長さが同じことから、ちょうど１成分づつ掛け合わされる(逆に言えば、この状況が満たされないとき行列の積は定義されない)。

$A$ の行の取り出し方は $l$ 通り、 $B$ の列の取り出し方は $n$ 通りあることから、行列の成分の数は $l\times n$ 個なので、 $(l,n)$ 型行列となる。

積 $AB$ が定義できたとしても、積 $BA$ は定義できるとは限らない。
例：

$A=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

のとき、

$\begin{split}AB&=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times 3+2\times 1 &1\times 2+2\times 5 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}3+2 &2+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&12\end{pmatrix}\end{split}$

となる。

$BA=\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}$

は、 $A$ の列の長さと $B$ の行の長さが異なるので、定義ができない。

$BA$ が定義できたとしても、 $AB$ と等しいとは限らない。
例：

$A=\begin{pmatrix}1 & 2　\\3&4\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

のとき、

$\begin{split}AB&=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times 2+2\times 4 &1\times 2+2\times 3 \\3\times 2+4\times 4 & 3\times 2+4\times 3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}2+8 &2+6\\ 6+16 & 6+12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8 \\ 22&18\end{pmatrix}\end{split}$

となる。一方で、 $BA$ は定義可能だが、

$\begin{split}AB&=\begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times 1+2\times 3 &2\times 2+2\times 4 \\4\times 1+3\times 3 & 4\times 2+3\times 4 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}2+6 &4+8\\ 4+9 & 8+12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&12 \\ 13&20\end{pmatrix}\neq AB\end{split}$

である。

3. 行列の積の演算法則
行列の積に関して次の演算法則が成り立つ。
$A$ が $(k,l)$ 型、 $B$ が[(l,m)]型、 $C$ が $(m,n)$ 型の行列ならば

$(AB)C=A(BC)\tag{2}$

証明：行列が等しいことの定義より、(2)式の両辺の形が等しく、対応する成分が同じであることを示す。 $AB$ の型は $(k,m)$ 型で、 $(AB)C$ の型は $(k,n)$ 型より左辺の型は $(k,n)$ 型である。また、 $BC$ の型は $(l,n)$ 型で $A(BC)$ の型は $(k,l)$ 型より右辺の型は $(k,l)$ 型である、よって両辺の型は等しい。

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1q} & \cdots & a_{1l}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ a_{p1} & & a_{pq} & & a_{pl} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kq} & \cdots & a_{kl} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1r} & \cdots & b_{1m}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ b_{q1} & & b_{qr} & & b_{qm} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ b_{l1} & \cdots & b_{lr} & \cdots & b_{lm} \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1s} & \cdots & c_{1n}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ c_{r1} & & c_{rs} & & c_{rn} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & \cdots & c_{ms} & \cdots & c_{mn} \end{pmatrix}$

とする。 $AB$ の $(p,r)$ 成分は、

$\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}b_{qr}$

より、 $(AB)C$ の $(p,s)$ 成分は、

$\begin{split}\displaystyle\sum_{r=1}^m\{(\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}b_{qr})c_{rs}\}&=\displaystyle\sum_{r=1}^m \{(a_{p1}b_{1r}+\dots + a_{pl}b_{lr})c_{rs}\} \\ &=\displaystyle\sum_{r=1}^m (a_{p1}b_{1r}c_{rs}+\dots + a_{pl}b_{lr}c_{rs}) \\ &=\displaystyle\sum_{r=1}^m a_{p1}b_{1r}c_{rs}+\dots +\displaystyle\sum_{r=1}^m a_{pl}b_{lr}c_{rs} \\&=\displaystyle\sum_{q=1}^l(\displaystyle\sum_{r=1}^m a_{pq}b_{qr}c_{rs})\end{split}$

一方、 $BC$ の $(q,s)$ 成分は、

$\displaystyle\sum_{r=1}^m b_{qr}c_{rs}$

であるから、 $A(BC)$ の $(p,s)$ 成分は

$\displaystyle\sum_{q=1}^l\{\displaystyle\sum_{r=1}^m a_{pq}(b_{qr}c_{rs})\}=\displaystyle\sum_{q=1}^l(\displaystyle\sum_{r=1}^m a_{pq}b_{qr}c_{rs})$

従って、 $(AB)C$ と $A(BC)$ の $(p,s)$ 成分は等しい。よって、 $(AB)C=A(BC)$ 。

行列の積と和に関して、次の演算法則が成り立つ。
$A$ が $(k,l)$ 型、 $B$ と $C$ が $(l,m)$ 型の行列ならば

$A(B+C)=AB+AC\tag{3}$

$A$ と $B$ が $(k,l)$ 型、 $C$ が $(l,m)$ 型の行列ならば

$(A+B)C=AC+BC\tag{4}$

$A$ が $(k,l)$ 型の行列ならば

$AO_{l,n}=O_{k,n}, O_{n,k}A=O_{n,l}\tag{5}$

(3)の証明：

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1q} & \cdots & a_{1l}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ a_{p1} & & a_{pq} & & a_{pl} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kq} & \cdots & a_{kl} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1r} & \cdots & b_{1m}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ b_{q1} & & b_{qr} & & b_{qm} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ b_{l1} & \cdots & b_{lr} & \cdots & b_{lm} \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1r} & \cdots & c_{1m}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ c_{q1} & & c_{qr} & & c_{qm} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ c_{l1} & \cdots & c_{lr} & \cdots & c_{lm} \end{pmatrix}$

とする。 $B+C$ は $(l,m)$ 型の行列で、 $A(B+C)$ は $(k,m)$ 型の行列である。一方 $AB$ と $AC$ は $(k,m)$ 型の行列で、 $AB+AC$ は $(k,m)$ 型の行列である。よって両辺の行列の型は等しい。

$B+C=\begin{pmatrix} b_{11}+c_{11} & \cdots & b_{1r}+c_{1r} & \cdots & b_{1m}+c_{1m}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ b_{q1}+c_{q1} & & b_{qr}+c_{qr} & & b_{qm}+c_{qm} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ b_{l1}+c_{l1} & \cdots & b_{lr}+c_{lr} & \cdots & b_{lm}+c_{lm} \end{pmatrix}$

より $A(B+C)$ の $(p,r)$ 成分は

$\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}(b_{qr}+c_{qr})=\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}b_{qr}+\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}c_{qr}$

一方、 $AB$ の $(p,r)$ 成分は、

$\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}b_{qr}$

、 $AC$ の $(p,r)$ 成分は、

$\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}c_{qr}$

より $AB+AC$ の $(p,r)$ 成分は、

$\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}b_{qr}+\displaystyle\sum_{q=1}^l a_{pq}c_{qr}$

である。従って、 $A(B+C)$ と $AB+AC$ の各成分は等しいので、 $A(B+C)=AB+AC$ 。

(4)の証明：

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1q} & \cdots & a_{1l}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ a_{p1} & & a_{pq} & & a_{pl} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kq} & \cdots & a_{kl} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1q} & \cdots & b_{1l}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ b_{p1} & & b_{pq} & & b_{pl} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ b_{k1} & \cdots & b_{kq} & \cdots & b_{kl} \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1r} & \cdots & c_{1m}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ c_{q1} & & c_{qr} & & c_{qm} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ c_{l1} & \cdots & c_{lr} & \cdots & c_{lm} \end{pmatrix}$

とする。 $A+B$ は $(k,l)$ 型の行列で、 $(A+B)C$ は $(k,m)$ 型の行列である。一方 $AC$ と $BC$ は $(k,m)$ 型の行列で、 $AC+BC$ は $(k,m)$ 型の行列である。よって両辺の行列の型は等しい。

$A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1q}+b_{1q} & \cdots & a_{1l}+b_{1l}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ a_{p1}+b_{p1} & & a_{pq}+b_{pq} & & a_{pl}+b_{pl} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ a_{k1}+b_{k1} & \cdots & a_{kq}+b_{kq} & \cdots & a_{kl}+b_{kl} \end{pmatrix}$