ベイジアン研究所

プログラミング言語(アルゴリズム的な話が中心)やガジェットの紹介をしています。時々心理学の話も。

【線形代数学入門】正則行列

  1. 記事の目的以下の記事で行列の演算に関して述べた。本記事では行列の割り算に対応するものが存在する行列である正則行列について解説する。

camelsan.hatenablog.com

camelsan.hatenablog.com

2. 正方行列
ここでは行列の型が(n,n)型(縦と横の大きさが同じ)行列を考える。(n,n,)型の行列を[tex:n次の正方行列という。

正方行列の成分で、特にa_{ii}の成分を対角成分と呼ぶ。

f:id:camelsan:20210123220752p:plain
図1 対角成分

正方行列同士では、常に和、減法、積いずれも常に定義可能である。

2. 単位行列
正方行列で、対角成分が全て1、それ以外の成分が全て0の行列を単位行列と呼ぶ。
即ち次のような行列である(記号でEと表す)。

E=\begin{pmatrix}1&0&\dots&0 \\ 0&1&\dots&0\\ \vdots &\vdots&&\vdots\\ 0&0&\dots&1\end{pmatrix}

行列に単位行列をかけても、変化ない。即ち、

AE=EA=A

である。

3. 正則行列
通常の数の場合、a零出ない限り、ax=xa=1となる数x即ちa^{-1}がちょうどひとつ存在した。行列の場合事情が少し複雑になる。行列Aに対し、AX=EとなるXについて考える。
Xが存在する例:

A=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&3\end{pmatrix}

とすると、

X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}

とすれば良い。実際、

AX=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-1&-2+2\\1-1&-1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Xが存在しない例:

A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}

とすると、AX=EとなるXは存在しない。
証明

X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}

として、AX=Eとする。即ち

\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

左辺を計算して、

\begin{pmatrix}x_{11}+2x_{21}&x_{12}+2x_{22}\\2x_{11}+4x_{21}&2x_{12}+4x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

行列が等しいことの定義より(型と各成分の値が等しい)次の4本の式が得られる。

x_{11}+2x_{21}=1\tag{1}
x_{12}+2x_{22}=0\tag{2}
2x_{11}+4x_{21}=0\tag{3}
2x_{12}+4x_{22}=1\tag{4}

(1)、(3)式より((3)式の両辺を2で割る)、

x_{11}+2x_{21}=1\tag{5}
x_{11}+2x_{21}=0\tag{6}

1\neq 0より、(5)、(6)式を同時に満たすx_{11}, x_{21}は存在しない。よってAX=Eを満たすXは存在しない。

Xが存在する行列を次のように名前をつける。

n次行列Aに対し、XA=AX=Eとなる行列Xが存在するとき、A正則行列という。さらに、XA逆行列という。

Aが正則ならば、その逆行列は一つしかない。
証明:二つの行列X,Yが共に行列Aであったと仮定する。このとき、

\begin{split}X&=XE\ \ \ \ (\text{単位行列の性質)}\\&=X(AY)\ \ \ \ (Y\text{は}A\text{の逆行列なので})\\&=(XA)Y\ \ \ \ (\text{行列の積の分配法則より})\\&=EY\ \ \ \ (X\text{は}A\text{の逆行列なので})\\&=Y\ \ \ \ (\text{単位行列の性質)}\end{split}

となる。

よって、A逆行列A^{-1}と表す。

さらに、正則行列正則行列の積も正則行列である。
証明:二つの正則行列ABとする。このとき、AB逆行列B^{-1}A^{-1}である。

区分けされた行列に関して次が成り立つ。区分けをしたとき、区分けされた各行列も正方行列になるとき、この区分けを対称区分けという。

正方行列の対称区分け

A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{pmatrix}

において、[texA{11}]、[tex:A{22}]が正則ならば、Aも正則である。
証明:実際に、A逆行列は次のように与えられる。

A^{-1}=\begin{pmatrix}A_{11}^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\0&A_{22}^{-1}\end{pmatrix}

次の記事

camelsan.hatenablog.com

4. 参考文献
[1] 線型代数入門