【線形代数学入門】正則行列 - ベイジアン研究所

記事の目的以下の記事で行列の演算に関して述べた。本記事では行列の割り算に対応するものが存在する行列である正則行列について解説する。

camelsan.hatenablog.com

2. 正方行列
ここでは行列の型が $(n,n)$ 型(縦と横の大きさが同じ)行列を考える。 $(n,n,)型の行列を[tex:n$ 次の正方行列という。

正方行列の成分で、特に $a_{ii}$ の成分を対角成分と呼ぶ。

f:id:camelsan:20210123220752p:plain — 図１対角成分

正方行列同士では、常に和、減法、積いずれも常に定義可能である。

2. 単位行列
正方行列で、対角成分が全て $1$ 、それ以外の成分が全て $0$ の行列を単位行列と呼ぶ。
即ち次のような行列である(記号で $E$ と表す)。

$E=\begin{pmatrix}1&0&\dots&0 \\ 0&1&\dots&0\\ \vdots &\vdots&&\vdots\\ 0&0&\dots&1\end{pmatrix}$

行列に単位行列をかけても、変化ない。即ち、

$AE=EA=A$

である。

3. 正則行列
通常の数の場合、 $a$ 零出ない限り、 $ax=xa=1$ となる数 $x$ 即ち $a^{-1}$ がちょうどひとつ存在した。行列の場合事情が少し複雑になる。行列 $A$ に対し、 $AX=E$ となる $X$ について考える。
$X$ が存在する例：

$A=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&3\end{pmatrix}$

とすると、

$X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

とすれば良い。実際、

$AX=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-1&-2+2\\1-1&-1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

$X$ が存在しない例：

$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$

とすると、 $AX=E$ となる $X$ は存在しない。
証明：

$X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}$

として、 $AX=E$ とする。即ち

$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

左辺を計算して、

$\begin{pmatrix}x_{11}+2x_{21}&x_{12}+2x_{22}\\2x_{11}+4x_{21}&2x_{12}+4x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

行列が等しいことの定義より(型と各成分の値が等しい)次の４本の式が得られる。

$x_{11}+2x_{21}=1\tag{1}$

$x_{12}+2x_{22}=0\tag{2}$

$2x_{11}+4x_{21}=0\tag{3}$

$2x_{12}+4x_{22}=1\tag{4}$

(1)、(3)式より((3)式の両辺を２で割る)、

$x_{11}+2x_{21}=1\tag{5}$

$x_{11}+2x_{21}=0\tag{6}$

$1\neq 0$ より、(5)、(6)式を同時に満たす $x_{11}, x_{21}$ は存在しない。よって $AX=E$ を満たす $X$ は存在しない。

$X$ が存在する行列を次のように名前をつける。

$n$ 次行列 $A$ に対し、 $XA=AX=E$ となる行列 $X$ が存在するとき、 $A$ を正則行列という。さらに、 $X$ を $A$ の逆行列という。

$A$ が正則ならば、その逆行列は一つしかない。
証明：二つの行列 $X,Y$ が共に行列 $A$ であったと仮定する。このとき、

$\begin{split}X&=XE\ \ \ \ (\text{単位行列の性質)}\\&=X(AY)\ \ \ \ (Y\text{は}A\text{の逆行列なので})\\&=(XA)Y\ \ \ \ (\text{行列の積の分配法則より})\\&=EY\ \ \ \ (X\text{は}A\text{の逆行列なので})\\&=Y\ \ \ \ (\text{単位行列の性質)}\end{split}$