【線形代数学入門】行列の掃き出し

1. 記事の目的
以下の記事で、行列の基本変形に関して述べた。本記事では行列を用いて連立方程式を解く際の、行列の操作である掃き出しについて解説する。掃き出しの操作としては、行列の基本変形を繰り返して行われるものである。

2. 行列の掃き出し
$(m,n)$ 型行列 $A$ の $(p,q)$ 成分が $0$ でないとき、次の一連の操作を考える。
(1) $p$ 行を $(p,q)$ 成分で割って、 $(p,q)$ 成分を $1$ にする((左１)の操作)。
(2) $p$ 以外のすべての $i$ に対して、第 $i$ 行から第 $p$ 行の $(i,p)$ 成分倍を引く((左３)の操作)。

(1)、(2)の操作により $A$ は図１の $A^{\prime}$ に変形される。

f:id:camelsan:20210206101029p:plain — 図１第q列の掃き出し

これを $(p,q)$ をかなめとし、左から第 $q$ 列を掃き出すという。

さらに次の操作を行う。
(3) $q$ 以外の全ての $j$ に対し、第 $j$ 列から第 $q$ 列の $(p,j)$ 成分倍を引く。

(3)の操作により、 $A^{\prime}$ は図２の $A^{\prime\prime}$ に変形される。

f:id:camelsan:20210206101736p:plain — 図２第p行の掃き出し

3. 正則行列に関する定理
掃き出しを利用することで、正則行列に関する、次の定理を証明することができる。

$n$ 次正方行列 $A$ に対し、 $XA=E$ となる $n$ 次行列 $X$ が存在すれば、 $A$ は正則である。
( $A$ が正則であるかを判定するには、 $AX=XA=E$ となる行列 $X$ が存在するか否かを調べる必要があったが、 $XA=E$ となる $X$ を見つけるだけで良いことになる、というのがこの定理の意味することである。)
証明： $n$ に関する数学的帰納法により証明する。 $n$ が $1$ のとき、 $A$ と $X$ は共に通常の数となり、交換できるので、成立する。
$n>1$ とし、 $n-1$ 次行列に対しては主張が正しいと仮定する。行列に $(1,1)$ 成分を考える。その成分が $0$ でないときは良い。 $0$ のとき、 $A$ は零行列ではないので(零行列とすると、 $AX=E$ より、 $E=0$ となり矛盾)、どこかの成分は $0$ ではない成分がある。よって、行や列を入れ替えることで(基本変形を繰り返す)、 $(1,1)$ 成分に $0$ でない成分を移動させる。 $(1,1)$ をかなめとし、第 $1$ 列と第 $1$ 行を掃き出すと $A$ は次の行列 $B$ に変形される。

$\begin{pmatrix}1&^{t}\textbf{0}\\ \textbf{0}&A_1\end{pmatrix}$

ここで、 $^{t}\textbf{0}=(0,\dots,0)$ を表す。
行列の基本変形とは、基本行列を掛けることなので、ある正則行列 $P$ 、 $Q$ を適当に取ると( $P, Q$ は基本行列をいくつか欠けたもの)

$PAQ=B=\begin{pmatrix}1&^{t}\textbf{0}\\ \textbf{0}&A_1\end{pmatrix}$

が成り立つ。

ここで、 $X_1A_1=E$ となる $X_1$ が存在することを証明する。 $XA=E$ より、この式に $PAQ$ という項が現れるようにしたい。左から $Q^{-1}$ 、右から $Q$ を掛けると、

$Q^{-1}XAQ=QQ^{-1}=E$

$P^{-1}P=E$ より、

$E=Q^{-1}XEAQ=Q^{-1}XP^{-1}PAQ$

ここで出現する、未知の行列である、[texQ^{-1}XP^{-1}]について考える。 $Q^{-1}XP^{-1}$ を $PAQ$ と同じ形に区分けする。即ち、

$Q^{-1}XP^{-1}=\begin{pmatrix}u&^{t}\textbf{z}\\ \textbf{y}&X_1\end{pmatrix}$

とする。 $(Q^{-1}XP^{-1})(PAQ)=E$ より、

$\begin{pmatrix}u&^{t}\textbf{z}\\ \textbf{y}&X_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&^{t}\textbf{0}\\ \textbf{0}&A_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&^{t}\textbf{0}\\ \textbf{0}&E_{n-1}\end{pmatrix}$

左辺を計算すると、

$\begin{pmatrix}u&^{t}\textbf{z}\\ \textbf{y}&X_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&^{t}\textbf{0}\\ \textbf{0}&A_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u&^{t}\textbf{z}A_1\\ \textbf{y}&X_1A_1\end{pmatrix}$