【線型代数学入門】行列式の定義

1. 記事の目的
以下の記事で、置換について述べた。置換を用いて、行列式と呼ばれるものを定義する。行列式を用いて、行列の階数を求めたり、連立方程式の解を求めることができる。

camelsan.hatenablog.com

2. 行列式の意味
行列式を一般的に定義する前に、2次正方行列の行列式の意味について考える。

2次の正方行列の行列式は、高校で習うように

$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

に対し、 $A$ の行列式は

$ad-bc \tag{1}$

である。(1)の値の、図形的な意味を説明する。行列式の意味を述べるための準備として、以下で、平面ベクトルの定義とその線形変換について述べる。

2.1. 平面ベクトル
平面ベクトルとは、２次元平面上の長さと方向を持った量のことである。図形的には、矢印で表現される。図１のように２点PとQをとったときにPからQへ向かう矢印として表される。

f:id:camelsan:20210307095329p:plain — 図１平面ベクトル

ベクトルは、"方向"と"長さ"による量であり、その"位置"には関係ない。つまり、図１の矢印を平行にずらしたものも、全く同じベクトルとなる。特に、Pを原点(２次元座標の $(0,0)$ )にとった時のPとQを結ぶベクトルを位置ベクトルという。

ベクトルを次の方法で、二つの数の組で表すことができる。PとQを結ぶベクトルをQとする。Pの座標を $(x_1,y_1)$ 、Qの座標を $(x_2,y_2)$ とする。

$\begin{split} &a = x_2-x_1 \\ &b = y_2 - y_1 \end{split} \tag{2}$

とすると、 $a,b$ は、PとQを結ぶ線の方向と大きさのみにより、位置にはよらない。実際、Pの $x$ 座標を $s$ 、Pの $y$ 座標を $t$ だけ移動した座標を $P^{\prime}$ とすると、 $P^{\prime}$ の座標は、 $(x_1+s,y_1+t)$ となる。Qも同じだけ移動させる。移動先を、 $Q^{\prime}$ とすると、 $Q^{\prime}$ の座標は、 $(x_2+s,y_2+t)$ となる。PQと $P^{\prime}Q^{\prime}$ は矢印の方向と大きさは同じで位置のみが異なる。この時、ベクトル $P^{\prime}Q^{\prime}$ における、(2)の数 $a,b$ を求めると、

$\begin{split} &a = x_2+s-(x_1+s)=x_2 - x_1 \\ &b = y_2+t - (y_1+t)=y_2-y_1 \end{split}$

従って、PとQを結ぶベクトルを、各々の座標の差である、(2)の数の組で表現することができる。(2)の数の組をベクトルの成分と呼び、

$\bf{a}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

と書く(PとQを結ぶベクトルを $\bf{a}$ としている)。

2.2. 平面ベクトルの線形変換
平面ベクトルを成分表示して( $\bf{a}$ と書く)左から、二次正方行列を掛けると $\bf{a}$ 別のベクトルの成分表示に変換することに対応する。例えば、

$\bf{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

として、

$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

とすると、ベクトル $\bf{a}$ は、

$\bf{b}=A\bf{a}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

に移る。 $\bf{a}$ と $\bf{b}$ の位置ベクトルを同一平面上に書くと図２のようになる。

f:id:camelsan:20210307105850p:plain — 図２ベクトルの線形変換

ベクトルを別のベクトルに移す規則である行列 $A$ のことを線形変換という(言葉遣いが紛らわしいが、線形変換と呼ばれる写像を定義できるが、それは結局行列と１対１対応があるということが証明される)。

2.3. 行列式の意味
ここで最初の目的に戻って、2.1と2.2で用意した概念を用いて、二次正方行列の行列式の意味について述べる。

２次元座標 $(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ を頂点とする正方形を考える(図３参照)。

f:id:camelsan:20210307111724p:plain — 図３正方形

原点 $(0,0)$ とA $(1,0)$ を結ぶベクトルを、 $\bf{a}$ 、原点 $(0,0)$ とB $(0,1)$ を結ぶベクトルを、 $\bf{b}$ とすると、それぞれを成分表示すると、

$\bf{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \bf{b}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

である、 $\bf{a}$ と $\bf{b}$ を線形変換

$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

で移動させる。このとき

$\begin{split} A\bf{a}&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} \\ A\bf{b}&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \\ A(\bf{a}+\bf{b})&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ c+d \end{pmatrix} \end{split}$

であり、図３の正方形は図４の平行四辺形に移動される。

f:id:camelsan:20210307114640p:plain — 図４平行四辺形

図４の平行四辺形の面積を求める。図５のように求めることができる。

f:id:camelsan:20210307120627p:plain — 図５平行四辺形の面積

まとめると、二次正方行列 $A$ の行列式は１辺の長さが１の正方形を線形変換 $A$ で移動させてできた平行四辺形の面積のことである。

2. 行列式の定義
より一般的に、 $n$ 次正方行列の行列式を定義する。

$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対し、

$\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}$

を行列 $A$ の行列式といい、

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}, {\rm{det}}A$

などと表す。但し、

$\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}$

は、全ての $n$ 文字の置換 $\sigma$ に渡る和を表す。

行列 $A=(a_{ij})$ の各列を列ベクトル $\bf{a}_1,\bf{a}_2,\dots,\bf{a}_n$ で表したときに、

${\rm{det}}(\bf{a}_1, \bf{a}_2, \dots, \bf{a}_n)$

と表すこともある。

例： $n=3$ のとき、３文字の置換を列挙すると、

$\begin{split} &\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \\ &\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{split}$

より、

$\begin{split} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} \end{split}$