【線形代数学入門】行列式の性質

1. 記事の目的
以下の記事で、行列式を定義した。本記事では、行列式の性質に関して述べる。

camelsan.hatenablog.com

2. 転置行列と行列式
最初に行列の転置と呼ばれる操作を定義する。行列

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$

に対し、 $(I,j)$ 成分を $(j,i)$ 成分に移動させた行列

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1m} & a_{2m} & \dots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \tag{1}$

を作る。この操作を行列 $A$ の転置といい、転置させてできた行列(1)を転置行列と言い、 $^{t}A$ と書く。行列を転置させても行列式の値は変わらない。即ち次の定理が成り立つ。

定理
転置行列の行列式は元の行列の行列式に等しい。
証明： $A=(a_{ij})$ とすると、行列式の定義より、

$|A| = \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}$

一方で、

$|^{t}A| = \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n} \tag{2}$

である。

$\sigma(1)=i_1, \sigma(2)=i_2,\dots,\sigma(n)=i_n$

となる置換 $\sigma$ をとる。逆置換を考えることで、

$1=\sigma^{-1}(i_1), 2=\sigma^{-1}(i_2),\dots,n=\sigma^{-1}(i_n)$

となる。(2)に代入すると、

$\begin{split} |^{t}A|&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{i_1\sigma^{-1}(i_1)}a_{i_2\sigma^{-1}(i_2)}\dots a_{i_n\sigma^{-1}(i_n)} \\ &=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma^{-1}\cdot a_{i_1\sigma^{-1}(i_1)}a_{i_2\sigma^{-1}(i_2)}\dots a_{i_n\sigma^{-1}(i_n)} \ \ \ \ ({\rm{sgn}}\sigma={\rm{sgn}}\sigma^{-1}より)\\ &=\displaystyle\sum_{\sigma^{-1}\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma^{-1}\cdot a_{i_1\sigma^{-1}(i_1)}a_{i_2\sigma^{-1}(i_2)}\dots a_{i_n\sigma^{-1}(i_n)} \ \ \ \ (\sigmaがS_nを渡るとき\sigma^{-1}もS_nを渡る) \\ &=\displaystyle\sum_{\sigma^{-1}\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma^{-1}\cdot a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)} \\ &(i_1,\dots,i_nは、1,\dots,nの重複のないいずれかの整数なので、小さい順に並べた) \\ & = \displaystyle\sum_{\tau\in S_n} {\rm{sgn}}\tau\cdot a_{1\tau(1)}a_{2\tau(2)}\dots a_{n\tau(n)} \ \ \ \ (\sigma^{-1}=\tauと置いた) \\ & = |A| \ \ \ \ (行列式の定義より) \end{split}$

3. 多重線形性と交代性
次に、行列式の多重線形性と交代性と呼ばれる性質に関して述べる。

定理
(1)

${\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime}+\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)={\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)+{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)$

(2)

${\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,c\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)=c\cdot {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)$

証明：(1)

$\boldsymbol{a}_j^{\prime}+\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime}= \begin{pmatrix} a_{j1}^{\prime}+a_{j1}^{\prime\prime} \\ a_{j2}^{\prime}+a_{j2}^{\prime\prime} \\ \vdots \\ a_{jn}^{\prime}+a_{jn}^{\prime\prime} \\ \end{pmatrix}$

とする。固定された $j$ に対して、行列式の定義を次のように書き換えることができる。

${\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime}+\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots (a_{j\sigma(j)}^{\prime}+a_{j\sigma(j)}^{\prime\prime})\dots a_{n\sigma(n)}$

と書ける。但し、

$\displaystyle\sum_{\sigma(j)=i}$

は、 $\sigma(j)=i$ となる置換 $\sigma$ 全てに関して和を取るという意味である。実際、固定された $j$ に対して、 $\sigma(1)=j$ となる置換は、 $(n-1)!$ 個ある。同様に $\sigma(2)=j$ となる置換、・・・、 $\sigma(n)=j$ となる置換はそれぞれ、全て $(n-1)!$ 個ある。それぞれの $(n-1)!$ 個の置換は全て異なり、さらに、これらの全ての

$(n-1)!\times n = n!$

個の置換は、互いに異なる(もし同じものがあるとすると $\sigma(i_1)=\sigma(i_2)=j$ となることなる $i_1,i_2$ がある。よって、 $i_1=i_2$ となり矛盾)。よってこれらは全ての置換 $S_n$ を渡る。よって、

$\begin{split} {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime}+\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)&=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots (a_{j\sigma(j)}^{\prime}+a_{j\sigma(j)}^{\prime\prime})\dots a_{n\sigma(n)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots a_{j\sigma(j)}^{\prime}\dots a_{n\sigma(n)} \\ &+\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots a_{j\sigma(j)}^{\prime\prime}\dots a_{n\sigma(n)} \\ &= {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)+ {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n) \end{split}$

(2) (1)の行列式の別表現を使用して、次のように証明できる。

$\begin{split} {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,c\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)&=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots (ca_{j\sigma(j)})\dots a_{n\sigma(n)} \\ &=c\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots a_{j\sigma(j)}\dots a_{n\sigma(n)} \\ &= c{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n) \end{split}$

次に交代性について述べる。
定理
$n$ 文字の置換 $\tau$ に対し

${\rm{det}}(\boldsymbol{a}_{\tau(1)},\dots,\boldsymbol{a}_{\tau(j)},\dots,\boldsymbol{a}_{\tau(n)})={\rm{sgn}}\tau\cdot {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)$

証明：

$\begin{split} {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_{\tau(1)},\dots,\boldsymbol{a}_{\tau(j)},\dots,\boldsymbol{a}_{\tau(n)})&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\tau\sigma(1)}a_{2\tau\sigma(2)}\dots a_{n\tau\sigma(n)} \\ &={\rm{sgn}}\tau \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\tau\sigma\cdot a_{1\tau\sigma(1)}a_{2\tau\sigma(2)}\dots a_{n\tau\sigma(n)} \\ &={\rm{sgn}}\tau \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \\ &(\sigmaがS_nの全ての置換を渡るとき、\tau\sigmaもS_nを全て渡るので) \\ &= {\rm{sgn}}\tau\cdot{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n) \end{split}$

転置行列の行列式は元の行列の行列式に等しいことから、列に関する上記の定理(行列式の多重線形性と交代性)は、行に関しても成り立つ。

4. 基本変形と行列式
行列の基本変形の一つ、ある行(列)を定数倍して他の行(列)に加える、という操作を行っても行列式は変わらない。即ち、次の定理が成り立つ。

定理
行列 $A$ のある列あるいは行に、他のある列あるいは行の定数倍を加えて得られる行列の行列式は、元の行列の行列式 $|A|$ に等しい。
証明：列に関して証明する(転置行列を考えれば、行に関しても成り立つ)。まず次を証明する：行列 $A$ の二つの列が一致すれば $|A|=0$ 。 $A=({\boldsymbol{a}}_1,\dots,{\boldsymbol{a}}_i,\dots,{\boldsymbol{a}}_j,\dots,{\boldsymbol{a}}_n),\ \ \boldsymbol{a}_i=\boldsymbol{a}_j \ (i\neq j)$ とする $\tau=(i,j)$ とすると、行列式の交代性により、

${\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_n)={\rm{sgn}}\tau\cdot {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)$

即ち、 $\boldsymbol{a}_i=\boldsymbol{a}_j$ より

${\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)=-{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)$

よって、

$|A|={\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_n)=0$

定理の証明に戻る。 $A$ の第 $i$ 列に第 $j$ 列の $c$ 倍を加えたとする。

$\begin{split} &{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i+c\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n) \\ =&{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)+c{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n) \ \ \ \ (行列の多重線形性より) \\ =&{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n) \ \ \ \ (第２項目の第i列と第j列が一致しているため) \\ =&|A| \end{split}$

5. 行列の積の行列式
二つの行列の積の行列式を取ると、それぞれの行列の行列式の積となる。即ち次が成り立つ。

定理
$A,B$ を二つの $n$ 次正方行列とすると、

$|AB|=|A|\cdot |B|$

証明：

$A=(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_n),\ \ B= \begin{pmatrix} b_{11} & \dots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \dots & b_{nn} \end{pmatrix}$

とおくと、

$\begin{split} |AB| &= |\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}b_{1\sigma(1)}\dots b_{n\sigma(n)}(\boldsymbol{a}_{\sigma(1)}, \dots, \boldsymbol{a}_{\sigma(n)})| \\ &=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}b_{1\sigma(1)}\dots b_{n\sigma(n)}|\boldsymbol{a}_{\sigma(1)}, \dots, \boldsymbol{a}_{\sigma(n)}| \\ &=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}b_{1\sigma(1)}\dots b_{n\sigma(n)}|\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n| \\ &=|A|\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\sigma \cdot b_{1\sigma(1)}\dots b_{n\sigma(n)} \\ &=|A||B| \end{split}$

6. 区分けと行列式
行列の区分けに関しては次の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

定理(A)
正方行列 $A$ を対称区分けして

$A= \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$

または、

$A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$

となったとき、 $|A|=|A_{11}|\cdot |A_{22}|$ となる。

本定理の証明は次の定理を利用するために少し難しい(次の定理(B)を使用しない証明方法があれば教えて欲しい)。

定理(B)
$n$ 個の $n$ 項列ベクトルの組、 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n$ に対して数 $F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$ を対応させる規則 $F$ (写像という)が次の(1)、(2)の性質をもつとする。
(1)

$\begin{split} F(\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_j^{\prime}+\boldsymbol{x}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{x}_n)=F(\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_j^{\prime},\dots,\boldsymbol{x}_n)&+F(\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{x}_n) \\ &(j=1,\dots,n) \end{split}$

$\begin{split} F(\boldsymbol{x}_1,\dots,c\boldsymbol{x}_j,\dots,\boldsymbol{x}_n)&=cF(\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_j^{\prime},\dots,\boldsymbol{x}_n) \\ &(j=1,\dots,n) \end{split}$

(2)

$F(\boldsymbol{x}_{\tau(1)},\boldsymbol{x}_{\tau(2)},\dots,\boldsymbol{x}_{\tau(n)})={\rm{sgn}}\tau\cdot F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$

このとき、 $F$ は ${\rm{det}}$ の定数倍となる。しかもその定数は $F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n)$ である。即ち、

$F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)=F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n)\cdot {\rm{det}}(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$

となる。ここで、 $\boldsymbol{e}_j, \ \ (j=1,\dots,n)$ は図 1 のようなベクトルである。

f:id:camelsan:20210319212317p:plain — 図１ベクトルe

証明：

$\begin{split} \boldsymbol{x}_j= \begin{pmatrix} x_{1j} \\ x_{2j} \\ \vdots \\ x_{nj} \end{pmatrix} &= x_{1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + x_{2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + x_{nj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_{ij}\boldsymbol{e}_i \ \ \ \ (j=1,\dots,n) \end{split}$

と表すと、

$\begin{split} F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)&=F(\displaystyle\sum_{i_1=1}^n x_{{i_1}1}\boldsymbol{e}_{i_1},\displaystyle\sum_{i_2=1}^n x_{{i_2}1}\boldsymbol{e}_{i_2},\dots,\displaystyle\sum_{i_n=1}^n x_{{i_n}1}\boldsymbol{e}_{i_n})\\ &=\displaystyle\sum_{i_1=1}^n\displaystyle\sum_{i_2=1}^n\dots \displaystyle\sum_{i_n=1}^n x_{{i_1}1}x_{{i_2}2}\dots x_{{i_n}n}F(\boldsymbol{e}_{i_1},\boldsymbol{e}_{i_2},\dots,\boldsymbol{e}_{i_n}) \\ &((1)の性質を繰り返し用いた) \end{split} \tag{3}$

(3)式の最後の項で、 $i_1,i_2,\dots,i_n$ の中に同じものがあれば、(2)の性質より

$F(\boldsymbol{e}_{i_1},\boldsymbol{e}_{i_2},\dots,\boldsymbol{e}_{i_n})=0$

である。 $i_1,i_2,\dots,i_n$ が全て異なれば

$\sigma= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_1 & i_2 & \dots & i_n \end{pmatrix}$

は $n$ 文字の置換なので、(2)の性質より

$F(\boldsymbol{e}_{i_1},\boldsymbol{e}_{i_2},\dots,\boldsymbol{e}_{i_n})={\rm{sgn}}\sigma\cdot F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n)$

となる。従って

$\begin{split} F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}x_{\sigma(1)1}x_{\sigma(2)2}\dots x_{\sigma(n)n}\cdot {\rm{sgn}}\sigma\cdot F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n) \\ &= F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n){\rm{det}}(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n) \end{split}$

定理(A)の証明：右上が0の時だけ証明する(左下が0の時は、転置を取ることで得られる)。 $A_{11}$ が $m$ 次、 $A_{22}$ が $n$ 次正方行列であるとする。最初に、 $A_{22}=E_n$ の時を証明する。

$A= \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & E_n \end{pmatrix} =(a_{ij})$

とする。行列式の定義より、

$|A| = \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots a_{m\sigma(m)}a_{m+1\sigma(m+1)}\dots a_{m+n\sigma(m+n)}$

上の一つの項で、 $m$ の先の全ての $i$ に対して $\sigma(i)=i$ でない限り、その項は $0$ である(行列 $A$ の形より)。即ち和は、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & m & m+1 & \dots & m+n \\ i_1 & i_2 & \dots & i_m & m+1 & \dots & m+n \end{pmatrix}$

の形のものに関して取れば良い。このような $\sigma$ は $m$ 文字の置換

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & m \\ i_1 & i_2 & \dots & i_m \end{pmatrix}$

と同じものであるから、 $a_{m+1m+1}=\dots =a_{m+nm+n}=1$ より、

$|A| = \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{m\sigma(m)}=|A_{11}|$

従って、 $A_{22}=E_n$ の時は証明された。

[tex:X=(\boldsymbol{x}1,\boldsymbol{x}2,\dots,\boldsymbol{x}_n)]を $n$ 次の変数と見て、

$F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)= \begin{vmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & X \end{vmatrix}$

とおくと、行列式は多重線形性と、交代性により定理(B)の(1)と(2)の条件を満たすので、

$\begin{split} F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)&=F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n){\rm{det}}(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n) \\ &= \begin{vmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & E_n \end{vmatrix} |X| = |A_{11}||X| \end{split}$

従って、

$\begin{vmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & X \end{vmatrix} = |A_{11}||X|$

より、 $X=A_{22}$ として

$\begin{vmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & A_{22} \end{vmatrix} = |A_{11}||A_{22}|$

が成り立つ。

7. 行列式と階数
$A$ を $(m,n)$ 型行列とする。小行列式と呼ばれるものを定義する。 $A$ から $p$ 個の行と $p$ 個の列を取り出して作った $p$ 次正方行列の行列式を $A$ の $p$ 次小行列式という。

例：

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

の２次小行列式を求める。行の取り方は、１行目と２行目の取り方のみである。列に関しては、１,２列目、２,３列目、１,３列目という取り方がある。よって

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = -3, \ \ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -3, \ \ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -6$

が $A$ の２次小行列式である。

定理7.1
$(m,n)$ 型行列 $A$ の階数は、 $A$ の0でない行列式の最大次数に等しい。
証明： $A$ の階数を $r(A)$ 、 $A$ の0でない小行列式の最大次数を $s(A)$ で表すことにする。

$r(A)=s(A)$

を証明すれば良い。 $A$ に基本変形を施して、標準形

$F(r)= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

に移す。行列の基本変形については以下の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

この時、

$s(F(r) )=r(F(r) )=r(A) \tag{4}$

である。よって、0でない小行列式の最大次数 $s(A)$ が基本変形によって変わらないことを言えば良い ((4)の最左辺が $s(A)$ に一致する)。

基本変形の操作を、

列(行)の順序を入れ替える。
ある列(行)に0でない数をかける。
ある列(行)に他のある列(行)の定数倍を加える。

と番号付けをすると、 $s(A)$ は行列式の性質から(1)、(2)によって変わらない。(3)について考える。行列 $A$ の第 $i$ 列に第 $j$ 列の $c$ 倍を加えたとする。この操作後の行列を $B$ とする。 $A$ の0でない $s(A)$ 次の小行列式の一つを $\Delta$ とし、対応する場所にある $B$ の小行列式を $\Delta^{\prime}$ とする。第 $i$ 列が $\Delta$ に入っていなければ、 $\Delta = \Delta^{\prime}\neq 0$ である。第 $i$ 列、第 $j$ 列が共に $\Delta$ に入っている場合は本記事4.基本変形と行列式の定理より、 $\Delta = \Delta^{\prime}\neq 0$ である。第 $i$ 列が $\Delta$ に入っていて、第 $j$ 列が入っていない場合は、 $\Delta^{\prime} = \Delta + c\Delta_1$ となる。但し、 $\Delta_1$ は $\Delta$ において、 $A$ の第 $i$ 列を第 $j$ 列で置換したものである。 $\Delta_1$ に対応する $B$ の小行列式を $\Delta_1^{\prime}$ とすると( $\Delta_1^{\prime}$ は $B$ の第 $i$ 列を第 $j$ 列で置き換えた行列の小行列式で、第 $i$ 列は $B$ の第 $j$ 列となっている)、 $\Delta_1^{\prime}=\Delta_1$ であるから、 $\Delta = \Delta^{\prime}-c\Delta_1^{\prime}$ となる。よって $\Delta^{\prime}$ 、 $\Delta_1^{\prime}$ のどちらかは0でない。以上の3通り(第 $i$ 列が $\Delta$ に入っていない、第 $i$ 列、第 $j$ 列が共に $\Delta$ に入っている、第 $i$ 列が $\Delta$ に入っていて、第 $j$ 列が入っていない)で、 $s(A)\le s(B)$ である。実際、第１と第２の場合は、 $\Delta^{\prime}\neq 0$ より、 $s(B)$ は少なくとも $s(A)$ よりは大きい。第３の場合、 $\Delta^{\prime}$ または $\Delta_1^{\prime}$ のどちらかが $\neq 0$ なので、 $s(B)$ は $s(A)$ 以上である。基本行列は可逆な操作なので、逆向きの不等号なので、 $s(A)=s(B)$ である。

定理7.2
正方行列 $A$ が正則であるためには、その行列式が $0$ ではないことが必要十分条件である。
証明： $A$ が $n$ 次正方行列として、 $A$ が正則なとき、 $A$ の階数は[tex;n]である(下記の記事の3節の定理[1])。

camelsan.hatenablog.com

よって、定理7.1より、 $A$ の $n$ 次小行列式で $0$ でないものが存在し、それは $|A|$ である。よって、 $|A|\neq 0$ である。逆に、 $|A|\neq 0$ とすると、 $A$ の $0$ でない小行列式の最大次数は $n$ となり、定理7.1から、 $A$ の階数は $n$ である。よって、 $A$ は正則である。