ベイジアン研究所

プログラミング言語(アルゴリズム的な話が中心)やガジェットの紹介をしています。時々心理学の話も。

【線形代数学入門】行列式の性質

1. 記事の目的
以下の記事で、行列式を定義した。本記事では、行列式の性質に関して述べる。

camelsan.hatenablog.com

2. 転置行列と行列式
最初に行列の転置と呼ばれる操作を定義する。行列

A=
    \begin{pmatrix}
        a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
        a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
        \vdots & \vdots &  & \vdots \\
        a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\
    \end{pmatrix}

に対し、(I,j)成分を(j,i)成分に移動させた行列


    \begin{pmatrix}
        a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\
        a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\
        \vdots & \vdots &  & \vdots \\
        a_{1m} & a_{2m} & \dots & a_{mn} \\
    \end{pmatrix}
\tag{1}

を作る。この操作を行列Aの転置といい、転置させてできた行列(1)を転置行列と言い、^{t}Aと書く。行列を転置させても行列式の値は変わらない。即ち次の定理が成り立つ。

定理
転置行列の行列式は元の行列の行列式に等しい。
証明A=(a_{ij})とすると、行列式の定義より、


    |A| = \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}

一方で、


    |^{t}A| = \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n}
\tag{2}

である。


    \sigma(1)=i_1, \sigma(2)=i_2,\dots,\sigma(n)=i_n

となる置換\sigmaをとる。逆置換を考えることで、


    1=\sigma^{-1}(i_1), 2=\sigma^{-1}(i_2),\dots,n=\sigma^{-1}(i_n)

となる。(2)に代入すると、


    \begin{split}
        |^{t}A|&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{i_1\sigma^{-1}(i_1)}a_{i_2\sigma^{-1}(i_2)}\dots a_{i_n\sigma^{-1}(i_n)} \\
        &=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma^{-1}\cdot a_{i_1\sigma^{-1}(i_1)}a_{i_2\sigma^{-1}(i_2)}\dots a_{i_n\sigma^{-1}(i_n)} \ \ \ \ ({\rm{sgn}}\sigma={\rm{sgn}}\sigma^{-1}より)\\
        &=\displaystyle\sum_{\sigma^{-1}\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma^{-1}\cdot a_{i_1\sigma^{-1}(i_1)}a_{i_2\sigma^{-1}(i_2)}\dots a_{i_n\sigma^{-1}(i_n)} \ \ \ \ (\sigmaがS_nを渡るとき\sigma^{-1}もS_nを渡る) \\
        &=\displaystyle\sum_{\sigma^{-1}\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma^{-1}\cdot a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)} \\ 
        &(i_1,\dots,i_nは、1,\dots,nの重複のないいずれかの整数なので、小さい順に並べた) \\
        & = \displaystyle\sum_{\tau\in S_n} {\rm{sgn}}\tau\cdot a_{1\tau(1)}a_{2\tau(2)}\dots a_{n\tau(n)} \ \ \ \ (\sigma^{-1}=\tauと置いた) \\
        & = |A| \ \ \ \ (行列式の定義より)
    \end{split}


3. 多重線形性と交代性
次に、行列式の多重線形性と交代性と呼ばれる性質に関して述べる。

定理
(1)


    {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime}+\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)={\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)+{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)

(2)


    {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,c\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)=c\cdot {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)

証明:(1)

\boldsymbol{a}_j^{\prime}+\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime}=
    \begin{pmatrix}
        a_{j1}^{\prime}+a_{j1}^{\prime\prime} \\
        a_{j2}^{\prime}+a_{j2}^{\prime\prime} \\
        \vdots \\
        a_{jn}^{\prime}+a_{jn}^{\prime\prime} \\
    \end{pmatrix}

とする。固定されたjに対して、行列式の定義を次のように書き換えることができる。


    {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime}+\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots (a_{j\sigma(j)}^{\prime}+a_{j\sigma(j)}^{\prime\prime})\dots a_{n\sigma(n)}

と書ける。但し、


    \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i}

は、\sigma(j)=iとなる置換\sigma全てに関して和を取るという意味である。実際、固定されたjに対して、\sigma(1)=jとなる置換は、(n-1)!個ある。同様に\sigma(2)=jとなる置換、・・・、\sigma(n)=jとなる置換はそれぞれ、全て(n-1)!個ある。それぞれの(n-1)!個の置換は全て異なり、さらに、これらの全ての


    (n-1)!\times n = n!

個の置換は、互いに異なる(もし同じものがあるとすると\sigma(i_1)=\sigma(i_2)=jとなることなるi_1,i_2がある。よって、i_1=i_2となり矛盾)。よってこれらは全ての置換S_nを渡る。よって、


\begin{split}
    {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime}+\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)&=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots (a_{j\sigma(j)}^{\prime}+a_{j\sigma(j)}^{\prime\prime})\dots a_{n\sigma(n)} \\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots a_{j\sigma(j)}^{\prime}\dots a_{n\sigma(n)} \\
&+\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots a_{j\sigma(j)}^{\prime\prime}\dots a_{n\sigma(n)} \\
&=  {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)+  {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{a}_n)
\end{split}

(2) (1)の行列式の別表現を使用して、次のように証明できる。


    \begin{split}
         {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,c\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)&=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots (ca_{j\sigma(j)})\dots a_{n\sigma(n)} \\
    &=c\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{\sigma(j)=i} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots a_{j\sigma(j)}\dots a_{n\sigma(n)} \\
    &= c{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)
    \end{split}

次に交代性について述べる。
定理
n文字の置換\tauに対し


    {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_{\tau(1)},\dots,\boldsymbol{a}_{\tau(j)},\dots,\boldsymbol{a}_{\tau(n)})={\rm{sgn}}\tau\cdot {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)

証明


    \begin{split}
        {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_{\tau(1)},\dots,\boldsymbol{a}_{\tau(j)},\dots,\boldsymbol{a}_{\tau(n)})&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\tau\sigma(1)}a_{2\tau\sigma(2)}\dots a_{n\tau\sigma(n)} \\
    &={\rm{sgn}}\tau \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\tau\sigma\cdot a_{1\tau\sigma(1)}a_{2\tau\sigma(2)}\dots a_{n\tau\sigma(n)} \\
    &={\rm{sgn}}\tau \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \\ 
    &(\sigmaがS_nの全ての置換を渡るとき、\tau\sigmaもS_nを全て渡るので) \\
    &= {\rm{sgn}}\tau\cdot{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)
    \end{split}

転置行列の行列式は元の行列の行列式に等しいことから、列に関する上記の定理(行列式の多重線形性と交代性)は、行に関しても成り立つ。

4. 基本変形行列式
行列の基本変形の一つ、ある行(列)を定数倍して他の行(列)に加える、という操作を行っても行列式は変わらない。即ち、次の定理が成り立つ。

定理
行列Aのある列あるいは行に、他のある列あるいは行の定数倍を加えて得られる行列の行列式は、元の行列の行列式|A|に等しい。
証明:列に関して証明する(転置行列を考えれば、行に関しても成り立つ)。まず次を証明する:行列Aの二つの列が一致すれば|A|=0A=({\boldsymbol{a}}_1,\dots,{\boldsymbol{a}}_i,\dots,{\boldsymbol{a}}_j,\dots,{\boldsymbol{a}}_n),\ \ \boldsymbol{a}_i=\boldsymbol{a}_j \ (i\neq j)とする\tau=(i,j)とすると、行列式の交代性により、


    {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_n)={\rm{sgn}}\tau\cdot {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)

即ち、\boldsymbol{a}_i=\boldsymbol{a}_jより


    {\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)=-{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)

よって、


    |A|={\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_n)=0

定理の証明に戻る。Aの第i列に第j列のc倍を加えたとする。


    \begin{split}
        &{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i+c\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n) \\
        =&{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)+c{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n) \ \ \ \ (行列の多重線形性より) \\
        =&{\rm{det}}(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n) \ \ \ \ (第2項目の第i列と第j列が一致しているため) \\
        =&|A|
    \end{split}


5. 行列の積の行列式
二つの行列の積の行列式を取ると、それぞれの行列の行列式の積となる。即ち次が成り立つ。

定理
A,Bを二つのn次正方行列とすると、


    |AB|=|A|\cdot |B|

証明


    A=(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_n),\ \ B=
    \begin{pmatrix}
        b_{11} & \dots & b_{1n} \\
        \vdots & & \vdots \\
        b_{n1} & \dots & b_{nn}
    \end{pmatrix}

とおくと、


    \begin{split}
        |AB| &= |\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}b_{1\sigma(1)}\dots b_{n\sigma(n)}(\boldsymbol{a}_{\sigma(1)}, \dots, \boldsymbol{a}_{\sigma(n)})| \\
        &=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}b_{1\sigma(1)}\dots b_{n\sigma(n)}|\boldsymbol{a}_{\sigma(1)}, \dots, \boldsymbol{a}_{\sigma(n)}| \\
        &=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}b_{1\sigma(1)}\dots b_{n\sigma(n)}|\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n| \\
        &=|A|\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}{\rm{sgn}}\sigma \cdot b_{1\sigma(1)}\dots b_{n\sigma(n)} \\
        &=|A||B|
    \end{split}


6. 区分けと行列式
行列の区分けに関しては次の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

定理(A)
正方行列Aを対称区分けして

A=
    \begin{pmatrix}
        A_{11} & 0 \\
        A_{21} & A_{22}
    \end{pmatrix}

または、

A=
    \begin{pmatrix}
        A_{11} & A_{12} \\
        0 & A_{22}
    \end{pmatrix}

となったとき、|A|=|A_{11}|\cdot |A_{22}|となる。

本定理の証明は次の定理を利用するために少し難しい(次の定理(B)を使用しない証明方法があれば教えて欲しい)。

定理(B)
n個のn項列ベクトルの組、\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_nに対して数F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)を対応させる規則 F (写像という)が次の(1)、(2)の性質をもつとする。
(1)


\begin{split}  F(\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_j^{\prime}+\boldsymbol{x}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{x}_n)=F(\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_j^{\prime},\dots,\boldsymbol{x}_n)&+F(\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_j^{\prime\prime},\dots,\boldsymbol{x}_n) \\
&(j=1,\dots,n)
\end{split}

      \begin{split}
F(\boldsymbol{x}_1,\dots,c\boldsymbol{x}_j,\dots,\boldsymbol{x}_n)&=cF(\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_j^{\prime},\dots,\boldsymbol{x}_n) \\
    &(j=1,\dots,n)
    \end{split}

(2)


    F(\boldsymbol{x}_{\tau(1)},\boldsymbol{x}_{\tau(2)},\dots,\boldsymbol{x}_{\tau(n)})={\rm{sgn}}\tau\cdot F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)

このとき、F{\rm{det}}の定数倍となる。しかもその定数はF(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n)である。即ち、


    F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)=F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n)\cdot {\rm{det}}(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)

となる。ここで、\boldsymbol{e}_j, \ \ (j=1,\dots,n)は図 1 のようなベクトルである。

f:id:camelsan:20210319212317p:plain
図1 ベクトルe

証明


    \begin{split}
        \boldsymbol{x}_j=
            \begin{pmatrix}
                x_{1j} \\ x_{2j} \\ \vdots \\ x_{nj}
            \end{pmatrix}
        &= x_{1j}
            \begin{pmatrix}
                1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
            \end{pmatrix}
       + x_{2j}
            \begin{pmatrix}
                0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
            \end{pmatrix}
        + \dots + x_{nj}
            \begin{pmatrix}
                0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
            \end{pmatrix} \\
        &=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_{ij}\boldsymbol{e}_i \ \ \ \ (j=1,\dots,n)
    \end{split}

と表すと、


    \begin{split}
F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)&=F(\displaystyle\sum_{i_1=1}^n x_{{i_1}1}\boldsymbol{e}_{i_1},\displaystyle\sum_{i_2=1}^n x_{{i_2}1}\boldsymbol{e}_{i_2},\dots,\displaystyle\sum_{i_n=1}^n x_{{i_n}1}\boldsymbol{e}_{i_n})\\
    &=\displaystyle\sum_{i_1=1}^n\displaystyle\sum_{i_2=1}^n\dots \displaystyle\sum_{i_n=1}^n x_{{i_1}1}x_{{i_2}2}\dots x_{{i_n}n}F(\boldsymbol{e}_{i_1},\boldsymbol{e}_{i_2},\dots,\boldsymbol{e}_{i_n}) \\ &((1)の性質を繰り返し用いた)
    \end{split}
\tag{3}

(3)式の最後の項で、i_1,i_2,\dots,i_nの中に同じものがあれば、(2)の性質より


    F(\boldsymbol{e}_{i_1},\boldsymbol{e}_{i_2},\dots,\boldsymbol{e}_{i_n})=0

である。i_1,i_2,\dots,i_nが全て異なれば


    \sigma=
    \begin{pmatrix}
        1 & 2 & \dots & n \\
        i_1 & i_2 & \dots & i_n
    \end{pmatrix}

n文字の置換なので、(2)の性質より


    F(\boldsymbol{e}_{i_1},\boldsymbol{e}_{i_2},\dots,\boldsymbol{e}_{i_n})={\rm{sgn}}\sigma\cdot F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n)

となる。従って


    \begin{split}
F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}x_{\sigma(1)1}x_{\sigma(2)2}\dots x_{\sigma(n)n}\cdot {\rm{sgn}}\sigma\cdot F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n) \\
    &= F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n){\rm{det}}(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)
    \end{split}

定理(A)の証明:右上が0の時だけ証明する(左下が0の時は、転置を取ることで得られる)。A_{11}m次、A_{22}n次正方行列であるとする。最初に、A_{22}=E_nの時を証明する。


    A=
    \begin{pmatrix}
        A_{11} & 0 \\
        A_{21} & E_n
    \end{pmatrix}
    =(a_{ij})

とする。行列式の定義より、


    |A| = \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma\cdot a_{1\sigma(1)}\dots a_{m\sigma(m)}a_{m+1\sigma(m+1)}\dots a_{m+n\sigma(m+n)}

上の一つの項で、mの先の全てのiに対して\sigma(i)=iでない限り、その項は0である(行列Aの形より)。即ち和は、


    \begin{pmatrix}
        1 & 2 & \dots & m & m+1 & \dots & m+n \\
        i_1 & i_2 & \dots & i_m & m+1 & \dots & m+n
    \end{pmatrix}

の形のものに関して取れば良い。このような\sigmam文字の置換


    \begin{pmatrix}
        1 & 2 & \dots & m \\
        i_1 & i_2 & \dots & i_m 
    \end{pmatrix}

と同じものであるから、a_{m+1m+1}=\dots =a_{m+nm+n}=1より、


    |A| = \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} {\rm{sgn}}\sigma a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{m\sigma(m)}=|A_{11}|

従って、A_{22}=E_nの時は証明された。

[tex:X=(\boldsymbol{x}1,\boldsymbol{x}2,\dots,\boldsymbol{x}_n)]をn次の変数と見て、


    F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)=
    \begin{vmatrix}
        A_{11} & 0 \\
        A_{21} & X
    \end{vmatrix}

とおくと、行列式は多重線形性と、交代性により定理(B)の(1)と(2)の条件を満たすので、


   \begin{split} F(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)&=F(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n){\rm{det}}(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n) \\
    &=
    \begin{vmatrix}
        A_{11} & 0 \\
        A_{21} & E_n
    \end{vmatrix}
    |X|
    = |A_{11}||X|
    \end{split}

従って、


    \begin{vmatrix}
        A_{11} & 0 \\
        A_{21} & X
    \end{vmatrix}
    = |A_{11}||X|

より、X=A_{22}として


    \begin{vmatrix}
        A_{11} & 0 \\
        A_{21} & A_{22}
    \end{vmatrix}
    = |A_{11}||A_{22}|

が成り立つ。

7. 行列式と階数
A(m,n)型行列とする。小行列式と呼ばれるものを定義する。Aからp個の行とp個の列を取り出して作ったp次正方行列の行列式Ap次小行列式という。

例:

A=
    \begin{pmatrix}
         1 & 2 & 3 \\
        4 & 5 & 6
    \end{pmatrix}

の2次小行列式を求める。行の取り方は、1行目と2行目の取り方のみである。列に関しては、1,2列目、2,3列目、1,3列目という取り方がある。よって


    \begin{vmatrix}
        1 & 2 \\
        4 & 5
    \end{vmatrix}
    = -3, \ \ 
    \begin{vmatrix}
        2 & 3 \\
        5 & 6
    \end{vmatrix}
    = -3, \ \ 
        \begin{vmatrix}
        1 & 3 \\
        4 & 6
    \end{vmatrix}
    = -6

Aの2次小行列式である。

定理
(m,n)型行列Aの階数は、Aの0でない行列式の最大次数に等しい。
証明Aの階数をr(A)Aの0でない小行列式の最大次数をs(A)で表すことにする。

r(A)=s(A)

を証明すれば良い。A基本変形を施して、標準形

F(r)=
    \begin{pmatrix}
        E_r & 0 \\
         0 & 0
    \end{pmatrix}

に移す。行列の基本変形については以下の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

この時、


    s(F(r) )=r(F(r) )=r(A)
\tag{4}

である。よって、0でない小行列式の最大次数s(A)基本変形によって変わらないことを言えば良い ((4)の最左辺がs(A)に一致する)。

基本変形の操作を、

  1. 列(行)の順序を入れ替える。

  2. ある列(行)に0でない数をかける。

  3. ある列(行)に他のある列(行)の定数倍を加える。

と番号付けをすると、s(A)行列式の性質から(1)、(2)によって変わらない。(3)について考える。行列Aの第i列に第j列のc倍を加えたとする。この操作後の行列をBとする。Aの0でないs(A)次の小行列式の一つを\Deltaとし、対応する場所にあるBの小行列式\Delta^{\prime}とする。第i列が\Deltaに入っていなければ、\Delta = \Delta^{\prime}\neq 0である。第i列、第j列が共に\Deltaに入っている場合は本記事4.基本変形行列式の定理より、\Delta = \Delta^{\prime}\neq 0である。第i列が\Deltaに入っていて、第j列が入っていない場合は、\Delta^{\prime} = \Delta + c\Delta_1となる。但し、\Delta_1\Deltaにおいて、Aの第i列を第j列で置換したものである。\Delta_1に対応するBの小行列式\Delta_1^{\prime}とすると(\Delta_1^{\prime}Bの第i列を第j列で置き換えた行列の小行列式で、第i列はBの第j列となっている)、\Delta_1^{\prime}=\Delta_1であるから、\Delta = \Delta^{\prime}-c\Delta_1^{\prime}となる。よって\Delta^{\prime}\Delta_1^{\prime}のどちらかは0でない。以上の3通り(第i列が\Deltaに入っていない、第i列、第j列が共に\Deltaに入っている、第i列が\Deltaに入っていて、第j列が入っていない)で、s(A)\le s(B)である。実際、第1と第2の場合は、\Delta^{\prime}\neq 0より、s(B)は少なくともs(A)よりは大きい。第3の場合、\Delta^{\prime}または\Delta_1^{\prime}のどちらかが\neq 0なので、s(B)s(A)以上である。基本行列は可逆な操作なので、逆向きの不等号なので、s(A)=s(B)である。

8. 参考文献
[1] 線型代数入門

[2] 行列式の積

http://www.isc.meiji.ac.jp/~tsushima/senkei/第13回.pdf

行列式の積の定理に関して、こちらの直接的な証明を参照した。n=3の場合を具体的に書いてあるのでこちらの方がわかりやすい。なお、行列式の積の定理は、区分けの証明で使用した写像に関する定理からも証明することができる。