【線形代数学入門】線型写像 - ベイジアン研究所

1. 記事の目的
以下の最初の記事で、ベクトル空間について述べた。本記事では、ベクトル空間の間の写像である線型写像について述べる。写像に関しては以下の2番目の記事で述べている。

camelsan.hatenablog.com

線形写像は、定義域のベクトル空間の和とスカラー倍を保持したまま、値域のベクトル空間へ写す写像のことである。特に、重要な事実として縦ベクトル全体がなす集合のベクトル空間の間の写像は、行列全体の集合のベクトル空間と１対１対応がある。

2. 線形写像の定義
線形写像の定義を述べる。

定義
$V$ と $V^{\prime}$ を $\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ ) 上のベクトル空間とする。 $V$ と $V^{\prime}$ 間の写像

$T: V\rightarrow V^{\prime}$

が次の(1)と(2)を満たすとき、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像という。

$T(x+y)=T(x)+T(y), x,y \in V \tag{1}$

$T(\alpha x)=\alpha T(x), x,\in V, \alpha \in \mathbb{R} (または\mathbb{C})\tag{2}$

次に、ベクトル空間の同型を定義する。

定義
ベクトル空間 $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像 $T$ が、全単射写像であるとき、 $T$ を $V$ と $V^{\prime}$ の間の同型対応であるという。また、２つのベクトル空間 $V$ と $V^{\prime}$ の間に同型対応があるとき(1つでも見つかれば)、 $V$ と $V^{\prime}$ は互いに同型であるといい、

$V \cong V^{\prime}$

と表す。

同型対応があるベクトル空間同士は、元の見かけが異なっていても、同型対応で写り合う元同士は、その性質は全く同じである。

3. 線形写像の例
行列を左からかけるという写像は、線形写像となる。具体的に、

$T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2; \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

とする。このとき、線形写像の定義(1)、(2)を満たすことを示す。

(1)

$\begin{split} T\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\right) &= T\left(\begin{pmatrix} x_1 +x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix}\right) \\ &= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 +x_2\\ y_1+y_2\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\right) \\ &= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} \\ &= T\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right) + T\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right) \end{split}$

(2) $\alpha \in \mathbb{R}$ に対し、

$\begin{split} T\left( \alpha \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) &= T\left(\begin{pmatrix}\alpha x \\ \alpha y \end{pmatrix}\right) \\ &= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha x \\ \alpha y \end{pmatrix} \\ &= \alpha \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \alpha T\left(\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\right) \end{split}$

4. 行列と線形写像
上記の例で分かるように、行列を左からかける写像は、線形写像である。逆に、縦ベクトルの集合がなすベクトル空間の間の線形写像は、必ずある行列を左からかける写像になる、という定理が成り立つ。つまり、行列全体の集合と縦ベクトルがなす集合の間の線形写像の集合の間に、全単射写像が存在する。定理の形で述べると次のようになる。

定理
$(m,n)$ 型実数(または複素数)行列全体の集合と、 $\mathbb{R}^n$ (または $\mathbb{C}^n$ ) から $\mathbb{R}^m$ (または $\mathbb{C}^m$ ) への線形写像全体の集合との間に全単射写像が存在する。
証明 : 実数に関する定理のみ証明する(複素数に関しても全く同様)。

$M_{mn}(\mathbb{R}) =\left\{\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1m} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nm} \end{pmatrix} : a_{ij} \in \mathbb{R} \right\}$

$\rm{Map}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m) = \left\{T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m : 線形写像 \right\}$

とする(上記の２つの集合間に全単射写像が存在することを証明すればよい)。

$f : M_{mn}(\mathbb{R})\rightarrow \rm{Map}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m); A\mapsto T_A$

とする。ただし、 $T_A$ は、行列を左からかける線形写像

$T_A:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m; \boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}$

である。また、

$g:\rm{Map}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\rightarrow M_{mn}(\mathbb{R}); T\mapsto \begin{pmatrix}T(\boldsymbol{e}_1) & \dots & T(\boldsymbol{e}_n)\end{pmatrix}$

とする。ただし、 $\boldsymbol{e}_i$ は、第 $i$ 成分のみが $1$ でほかは $0$ の列ベクトルである。
$f, g$ が全単射写像であることを証明する。 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n, T\in \rm{Map}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ に対し、

$\begin{split} f\circ g(T)(\boldsymbol{x}) &= f(\begin{pmatrix}T(\boldsymbol{e}_1) & \dots & T(\boldsymbol{e}_n)\end{pmatrix}) \\ &= \begin{pmatrix}T(\boldsymbol{e}_1) & \dots & T(\boldsymbol{e}_n)\end{pmatrix}(\boldsymbol{x}) \\ &= \begin{pmatrix}T(\boldsymbol{e}_1) & \dots & T(\boldsymbol{e}_n)\end{pmatrix}(x_1\boldsymbol{e}_1+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n) \\ &= x_1\begin{pmatrix}T(\boldsymbol{e}_1) & \dots & T(\boldsymbol{e}_n)\end{pmatrix}\boldsymbol{e}_1+\dots+ x_n\begin{pmatrix}T(\boldsymbol{e}_1) & \dots & T(\boldsymbol{e}_n)\end{pmatrix}\boldsymbol{e}_n \\ &= \begin{pmatrix}T(x_1\boldsymbol{e}_1) & \dots & T(x_1\boldsymbol{e}_n)\end{pmatrix}\boldsymbol{e}_1+\dots+\begin{pmatrix}T(x_n\boldsymbol{e}_1) & \dots & T(x_n\boldsymbol{e}_n)\end{pmatrix}\boldsymbol{e}_n \\ &= T(x_1\boldsymbol{e_1})+\dots+T(x_n\boldsymbol{e_n}) \\ &= T\boldsymbol{x} \end{split}$

従って、写像の相等より、

$f\circ g = 1_{\rm{Map}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)}$

である。また、 $A\in M_{mn}(\mathbb{R})$ に対し、

$\begin{split} g\circ f (A) &= g(T_A) \\ &=\begin{pmatrix} T_A(\boldsymbol{e}_1) & \dots & T_A(\boldsymbol{e}_n) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} A\boldsymbol{e}_1 & \dots & A\boldsymbol{e}_n \end{pmatrix} \\ &= A \end{split}$