ベイジアン研究所

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【線形代数学入門】基底の定義

1. 記事の目的
以下の記事で、ベクトルの線型独立性について述べた。本記事では、線型独立性を使用して、ベクトル空間の基底を定義する。ベクトル空間の任意の元をいくつかの基本的な元(これを基底という)を用いて表すことを考える。本記事では特に、基底の定義とその存在について述べる。

camelsan.hatenablog.com

2. 基底とは


\mathbb{R}^2=\left\{ \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} : x,y \in \mathbb{R}\right\}

を考える。\mathbb{R}^2幾何学的には2次元平面で表現される。

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図1 2次元平面


\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}

というベクトルを考える。\mathbb{R}^2上の任意の点は、\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2に実数をかけて和をとったもの(線形結合)としてあらわすことができる。

例:

\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 3 \end{pmatrix}

とすると、

\boldsymbol{a}=2\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2

と表せる。

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図2 ベクトルの表示

\mathbb{R}^2のどの元も、線形結合として表現することができる元\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2のことを基底という。

3. 基底の定義
まず最初に、ベクトル空間が「有限次元」であるということを定義する(基底の個数が有限個であることを規定したいために、まず次元という言葉を正確に定義せずに有限次元であるということを定義する。のちの方便のためである。)

定義
ベクトル空間Vに、有限個のベクトルが存在して、Vのどのベクトルもこれらの有限個のベクトルの線形結合として表されるとき、Vは有限次元であるという。有限次元ではないとき、Vは無限次元であるという。

例:ベクトル空間\mathbb{R}^2の任意の元は、


\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}

の2つのベクトルで表すことができるので、有限次元である。

有限次元ベクトル空間の基底を定義する。

定義
有限次元ベクトル空間Vの有限個のベクトル\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_nが次の2条件を満たすとき、\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_nVの基底であるという。
(1) \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_nは線型独立である。
(2) Vの任意のベクトルは、\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_nの線型結合として表される。

有限次元ベクトル空間V { \boldsymbol{0} } でないとき、基底は必ず存在する。

定理3.1
有限次元ベクトル空間V\neq \boldsymbol{0}には、基底が必ず存在する。

定理3.1は次の定理3.2から証明される。

定理3.2
有限次元ベクトル空間V\neq \boldsymbol{0}のとき、\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_rが線型独立ならば、このとき何個かのベクトルを付け加えることで、Vの基底が得られる。
証明Vは有限次元であるから、有限個のベクトル\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_kが存在してVの任意のベクトルは、\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_kの線型結合である。Vのすべてのベクトルが\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_rの線型結合ならば、\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_rはすでにVの基底である。\boldsymbol{v}\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_rの線型結合として表されないとする。このとき\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_kを使って、

\boldsymbol{v}=b_1\boldsymbol{a}_1+b_2\boldsymbol{a}_2+\dots+b_k\boldsymbol{a}_k

と表すことができる。ここで、\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_kがすべて\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_rの線型結合として表すことができたと仮定すると、下記の記事(線型独立)の定理4.3より、\boldsymbol{v}\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_rの線型結合として表されてしまう。これは矛盾である。従って、\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_kのどれかは、\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_rの線型結合として表すことができない。並べ替えることで、一般性を失うことなく、\boldsymbol{a}_1\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_rの線型結合として表すことができないと仮定することができる。\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{e}_{r+1}とおく。このとき、\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_{r+1}は下記の記事の定理4.2より線型独立である。これらがまだ基底に達しなければ、\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_kのうちで、\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_{r+1}の線型結合として表されないものを選んで、それを\boldsymbol{e}_{r+2}とおく。この操作を続ければ、高々k回目にVの基底に達する。

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定理4.1の証明V\neq \boldsymbol{0}より、零でないベクトル\boldsymbol{v}\in Vが存在する。a\in \mathbb{R}(または\mathbb{C})に対し

a\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}

とすると、a=0より\boldsymbol{v}は線型独立である。よって、定理4.2から、これにいくつかのベクトルを付け加えることで、基底が得られる。

5. 参考文献
[1] 線型代数入門

線型代数入門 (基礎数学) [ 斎藤正彦 ]

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