【線形代数学入門】エルミート変換

1. 記事の目的
下記の記事で、正規変換の特別な場合であるエルミート変換を導入し、固有値の言葉で特徴づけた。本記事では、エルミート変換について詳細に述べる。

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2. 正値エルミート変換
エルミート変換が正値であることを述べる。 $T$ をユニタリ空間 $V$ のエルミート変換とする。 $T^{\ast}=T$ より任意の $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ に対して

$(T\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, T\boldsymbol{y})$

が成り立つ。特に

$(T\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})=(\boldsymbol{x}, T\boldsymbol{x})=\overline{(T\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})}$

より、 $(T\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})$ は実数である。また、下記の記事の定理4.1より、 $T$ の固有値はすべて実数である。

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定義
エルミート変換 $T$ の固有値がすべて正(または非負)のとき、 $T$ を正値(または半正値)エルミート変換という。

エルミート変換の正値性に関して次の同値条件がある。
定理2.1
エルミート変換 $T$ が正値(または半正値)であるためには、 $\boldsymbol{0}$ でない任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ に対して $(T\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})$ が正(または非負)であることが必要かつ十分な条件である。
証明：エルミート変換 $T$ が正値(または半正値)であると仮定する。 $T$ の固有ベクトルからなる $V$ の正規直交基底 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ をとり、 $T$ の固有値を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ とする。このとき $\boldsymbol{0}$ でない任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ を

$\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n$

と表せば、

$\begin{split} (T\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}) &= (\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i\boldsymbol{e}_i, \displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\boldsymbol{e}_i) \\ &= \displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i |x_i|^2 \ \ > 0 \ \ (\ge 0) \end{split}$

が成り立つ。逆に、 $\boldsymbol{0}$ でない任意の $\boldsymbol{x}$ に対して、 $(T\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})$ が正(または非負)ならば、とくに

$(T\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{e}_i)=(\alpha_i\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{e}_i)=\alpha_i$

もすべて正(または非負)である。

上記の定理から次のことが言える。
$T$ がエルミート変換ならば、 $T^2$ は半正値エルミート変換である。実際、 $\boldsymbol{0}$ でない任意のベクトル $\boldsymbol{z}$ に対して、

$\begin{split} (T^2\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})&=(T\boldsymbol{x},T\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},T^2\boldsymbol{y}) \\ (T^2\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z})&=(T\boldsymbol{z},T\boldsymbol{z}) \ge 0 \end{split}$

より成り立つ。

特に $T$ が正値エルミート変換のとき、 $T^2$ も正値エルミート変換であり( $T$ の固有値を $\alpha$ とすると、 $T^2$ の固有値は $\alpha^2$ なので)、この逆に対応する次の定理も成り立つ。
定理2.2
ユニタリ空間 $V$ のエルミート変換を $T$ とする。 $T$ が正値(または半正値)ならば、 $S^2=T$ となるような正値(または半正値)エルミート変換 $S$ が存在する。
証明： $T$ が正値(または半正値)とする。 $T$ のスペクトル分解を、

$T=\beta_1P_1+\beta_2P_2+\dots+\beta_kP_k$

とする(スペクトル分解に関しては下記の記事を参照)。

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$\beta_i>0 \ \ (\beta_i \ge 0)$ であるから、

$S=\sqrt{\beta_1}P_1+\sqrt{\beta_2}P_2+\dots+\sqrt{\beta_k}P_k$

とおけば、 $P_i^2=P_i$ 、 $P_iP_j=0 \ \ (i\neq j)$ より、 $S^2=T$ である。 $\boldsymbol{0}$ でない任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ に対して

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2+\dots+\boldsymbol{x}_k$

とする。ただし、 $\boldsymbol{x}_i$ は、固有値 $\beta_i$ に関する固有空間の元である。このとき、

$\begin{split} (S\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})&=(\displaystyle\sum_{i=1}^k\sqrt{\beta_i}\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}_i) \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^k\sqrt{\beta_i}(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}_i)>0 \ \ (\ge 0) \end{split}$

となるので、 $S$ は正値(または半正値)エルミート変換である。
$S$ の一意性を証明する。もう一つの正値(または半正値)エルミート変換 $S^{\prime}$ があって、 ${S^{\prime}}^2=T$ であるとする。下記の記事定理3.4の(2)と $S^{\prime}$ の正値性(または半正値性)より、 $S^{\prime}$ の相異なる固有値は $\sqrt{\beta_1},\sqrt{\beta_2},\dots,\sqrt{\beta_k}$ であるから、 $S^{\prime}$ のスペクトル分解は、

$S^{\prime}=\sqrt{\beta_1}P_1^{\prime}+\sqrt{\beta_2}P_2^{\prime}+\dots+\sqrt{\beta_k}P_k^{\prime}$

の形である。

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これから、 ${S^{\prime}}^2=T$ より、 $T$ のスペクトル分解

$T=\beta_1P_1^{\prime}+\beta_2P_2^{\prime}+\dots+\beta_kP_k^{\prime}$

が得られるから、スペクトル分解の一意性より $P_i=P_i^{\prime} \ \ (i=1,2,\dots,k)$ である。従って $S=S^{\prime}$ である。

定理2.2の $S$ を $\sqrt{T}$ と表すことにする。このことから、正則な線型変換に対する次の分解定理が得られる。

定理2.3
ユニタリ空間 $V$ の任意の正則線型変換 $T$ は、正値エルミート変換 $H$ とユニタリ変換 $U$ との積として一意的に表される。
証明：任意のベクトル $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ に対し、

$(TT^{\ast}\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(T^{\ast}\boldsymbol{x}, T^{\ast}\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, TT^{\ast}\boldsymbol{y})$

より、

$(TT^{\ast})^{\ast}=TT^{\ast}$

となり、 $TT^{\ast}$ はエルミート変換である。また、 $\boldsymbol{0}$ でない任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ に対し、

$(TT^{\ast}\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})=(T^{\ast}\boldsymbol{x}, T^{\ast}\boldsymbol{x})\ge 0$

である。また、 $(TT^{\ast}\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})=0$ と仮定すると、

$(T^{\ast}\boldsymbol{x}, T^{\ast}\boldsymbol{x})=0$

より、 $T^{\ast}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ である。 $T$ が正則なので、 $T^{\ast}$ も正則であり、 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ となる。これは $\boldsymbol{x}$ が $\boldsymbol{0}$ ではないことに矛盾する。従って、