【線形代数学入門】二次曲線、二次曲面

1. 記事の目的
下記の記事で二次形式について述べた。本記事では、二次形式を用いて、二次曲線および二次曲面を分類する。分類は、数学の主要な問題の一つである。

2. 幾何ベクトルの座標変換
空間(平面)の座標系とは、一点 $O$ と、幾何ベクトル空間 $V^3$ ( $V^2$ )の一つの基底 $E=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3 \}$ ( $E=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \}$ )との組 $(O;E)$ である。

$E=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3 \}$ ( $E=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \}$ )、 $E^{\prime}=\{\boldsymbol{e}_1^{\prime},\boldsymbol{e}_2^{\prime},\boldsymbol{e}_3^{\prime} \}$ ( $E^{\prime}=\{\boldsymbol{e}_1^{\prime},\boldsymbol{e}_2^{\prime} \}$ )として、二つの座標系 $(O;E)$ 、 $(O^{\prime};E^{\prime})$ があるとき、 $V^3$ ( $V^2$ )の基底の取り換え $E\rightarrow E^{\prime}$ の行列を $T=(t_{ij})$ とする。即ち

$\boldsymbol{e}_i^{\prime}=\displaystyle\sum_{j=1}^{3(2)}t_{ji}\boldsymbol{e}_j$

である。点 $O^{\prime}$ の、座標系 $(O;E)$ に関する位置ベクトルを

$\boldsymbol{t}_0= \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} \ \ ( \boldsymbol{t}_0= \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} )$

とする。点 $P$ の座標系 $(O;E)$ 、 $(O^{\prime};E^{\prime})$ に関する位置ベクトルを、それぞれ

$\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{y}= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \ \ ( \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{y}= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} )$

とすると、 $\overrightarrow{(OP)}=\overrightarrow{(OO^{\prime})}+\overrightarrow{(O^{\prime}P)}$ であるから、

$\begin{split} \displaystyle\sum_{i=1}^{3(2)} x_i\boldsymbol{e}_i&=\displaystyle\sum_{i=1}^{3(2)} t_i\boldsymbol{e}_i+\displaystyle\sum_{i=1}^{3(2)} y_i\boldsymbol{e}_i^{\prime} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^{3(2)} t_i\boldsymbol{e}_i+\displaystyle\sum_{j=1}^{3(2)} \left( \displaystyle\sum_{i=1}^{3(2)} y_it_{ji} \right)\boldsymbol{e}_j \end{split}$

である。したがって、

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{t}_0+T\boldsymbol{y}\tag{1}$

である。また、

$\tilde{\boldsymbol{x}}=\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \tilde{\boldsymbol{y}}=\begin{pmatrix} y \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \tilde{T}= \begin{pmatrix} T & \boldsymbol{t}_0 \\ ^t\boldsymbol{0} & 1 \end{pmatrix}$

とおくと、

$\tilde{\boldsymbol{x}}=\tilde{T}\tilde{\boldsymbol{y}}\tag{2}$

特に、 $(O;E)$ 、 $(O^{\prime};E^{\prime})$ がともに直交座標系( $E, E^{\prime}$ が正規直交基底 )ならば、 $T$ は直交行列である(下記の記事を参照)。

camelsan.hatenablog.com

3. 二次曲線と二次曲面の定義
空間(平面)における二次曲面(二次曲線)とは、ある座標系に関する座標の二次の多項式の零点の集合のことである。

座標変換の式(1)から、座標の二次の多項式は、越の座標系に関しても二次の多項式なので、二次曲面(二次曲線)は、座標系に無関係な概念である。

二次曲面(q)がある直交座標系に関し、

$(q) \ \ : \ \ a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{12}x_1x_2+2b_1x_1+2b_2x_2+c=0$

で与えられるとする。

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \ \ a_{21}=a_{12}, \ \ \boldsymbol{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

とすれば、

$(q) \ \ : \ \ A[\boldsymbol{x}]+2(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{b})+c=0 \tag{3}$

と表される。さらに

$\tilde{A}= \begin{pmatrix} A & \boldsymbol{b} \\ ^t\boldsymbol{b} & c \end{pmatrix}$

とおけば

$(q) \ \ : \ \ \tilde{A}[\tilde{\boldsymbol{x}}]=0\tag{4}$

となる。

二次曲面(Q)

$\begin{split} (Q) \ \ : \ \ a_{11}x_1^2&+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3 \\ &+2b_1x_2+2b_2x_2+2b_3x_3+c=0 \end{split}$

に対しても、

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, \ \ a_{ij}=a_{ji}, \ \ \boldsymbol{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, \ \ \tilde{A}= \begin{pmatrix} A & \boldsymbol{b} \\ ^t\boldsymbol{b} & c \end{pmatrix}$

とおけば、

$\begin{split} &(Q) \ \ : \ \ A[\boldsymbol{x}]+2(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{x})+c=0 \\ &(Q) \ \ : \ \ \tilde{A}[\tilde{\boldsymbol{x}}] \end{split}$

と表すことができる・

式(3) ～(6)の変形結果から、二次曲線および二次曲面は、 $A, \tilde{A}$ の階数および符号によって分類される。

${\rm{sgn}}A=(p,q)$ 、 ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(\tilde{p},\tilde{q})$ とするとき、 $p\ge q$ 、 $\tilde{p}\ge \tilde{q}$ と仮定してもよい。((q)または(Q)を標準形に変形したとき、両辺に $-1$ をかけることで、 $p\ge q$ の場合に帰着することができる。)

直交座標変換

$\tilde{\boldsymbol{x}}=\tilde{T}\tilde{\boldsymbol{y}}$

により、(q)または(Q)は、

$\tilde{A}[\tilde{\boldsymbol{x}}]=^t\tilde{T}\tilde{A}\tilde{T}[\tilde{\boldsymbol{y}}]$

と変形される。 $\tilde{T}$ を適当に選び、 $^t\tilde{T}\tilde{A}\tilde{T}$ がなるべく簡単な形になるように変形する。このとき下記の記事の定理4.2より、 $A, \tilde{A}$ の符号は一定である。

camelsan.hatenablog.com

まず、直交行列 $T$ を適当に選べば、 $^t\tilde{T}\tilde{A}\tilde{T}$ は対角行列になるので、座標変換 $\boldsymbol{x}=T\boldsymbol{y}$ を施すことで、最初から $A$ は対角行列であるとして良い。

4. 二次曲線の分類

$(q) \ \ : \ \ \tilde{A}[\tilde{\boldsymbol{x}}]=0, \ \ \tilde{A}= \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & b_1 \\ 0 & \alpha_2 & b_2 \\ b_1 & b_2 & c \end{pmatrix}$

と変形しておく。
(1) $r(A)=2$ のとき
$\alpha_1\neq 0$ かつ $\alpha_2\neq 0$ で、

$(q) \ \ : \ \ a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{12}x_1x_2+2b_1x_1+2b_2x_2+c=0$

より、座標変換 $x_1=y_1-\frac{b_1}{\alpha_1}$ 、 $x_2=y_2-\frac{b_2}{\alpha_2}$ を施すと、

$\begin{split} &\alpha_1(y_1-\frac{b_1}{\alpha_1})^2+\alpha_2(y_2-\frac{b_2}{\alpha_2})^2+2b_1(y_1-\frac{b_1}{\alpha_1})+2b_2(y_2-\frac{b_2}{\alpha_2})+c=0 \\ &\alpha_1(y_1^2-\frac{2y_1b_1}{\alpha_1}+\frac{b_1^2}{\alpha_1^2})+\alpha_1(y_2^2-\frac{2y_2b_2}{\alpha_2}+\frac{b_2^2}{\alpha_2^2})+2b_1y_1-\frac{2b_1^2}{\alpha_1}+2b_2y_2-\frac{2b_2^2}{\alpha_2}+c=0 \\ &\alpha_1y_1^2-2y_1b_1+\frac{b_1^2}{\alpha_1}+\alpha_2y_2^2-2y_2b_2+\frac{b_2^2}{\alpha_2}+2b_1y_1-\frac{2b_1^2}{\alpha_1}+2b_2y_2-\frac{2b_2^2}{\alpha_2}+c=0 \\ &\alpha_1y_1^2+\alpha_2y_2^2+(\frac{b_1^2}{\alpha_1}+\frac{b_2^2}{\alpha_2}+c-\frac{2b_1^2}{\alpha_1}-\frac{2b_2^2}{\alpha_2})=0 \\ &\alpha_1y_1^2+\alpha_2y_2^2+(c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}-\frac{b_2^2}{\alpha_2})=0 \end{split}$

となる。 $y_1, y_2$ を改めて $x_1, x_2$ 、 $c^{\prime}=c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}-\frac{b_2^2}{\alpha_2}$ とおくと

$(q) \ \ : \ \ \alpha_1x_1^2+\alpha_2x_2^2+c^{\prime}=0$

が得られる。下記で、 $a_1=\sqrt{|\alpha_1|}$ 、 $a_2=\sqrt{|\alpha_2|}$ とおく

$(q) \ \ : \ \ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} =0$

より、改めて

$A= \begin{pmatrix} \alpha_1 & \\ & \alpha_2 \end{pmatrix}$

とおく。

① ${\rm{sgn}}A=(2,0)$ のとき
(ア) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,0)$ のとき
$\alpha_1, \alpha_2, c^{\prime} > 0$ より、(q)の左辺は $>0$ となり、解 $(x_1, x_2)$ は存在しない。よって、(q)は空集合。
(イ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,1)$ のとき
$\alpha_1, \alpha_2 > 0$ 、 $, c^{\prime} \lt 0$ より、 $d=\sqrt{-c^{\prime}}$ とおくと、(q)は楕円

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2=d^2$

である。 (ウ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ のとき
$\alpha_1, \alpha_2 > 0$ 、 $, c^{\prime} = 0$ より、(q)は、

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2=0$

より、 $(x_1,x_2)=(0,0)$ の一点である。
(エ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,1)$ のとき
$\alpha_1, \alpha_2 > 0$ より正の固有値が一つのみのときは存在しないので、この場合はない。
(オ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,0)$ のとき
$\alpha_1, \alpha_2 > 0$ より正の固有値が一つのみのときは存在しないので、この場合はない。
② ${\rm{sgn}}A=(1,1)$ のとき
(ア) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,0)$ のとき
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ のうち少なくとも一つ負の固有値が含まれるので、この場合はない。
(イ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,1)$ のとき
・ $\alpha_1 > 0,\ \ \alpha_2 \lt 0, \ \ c^{\prime}\lt 0$ のとき、 $d=\sqrt{-c^{\prime}}$ として(q)は双曲線

$a_1^2x_1^2-a_2^2x_2^2=d^2$

である。・ $\alpha_1 \lt 0,\ \ \alpha_2 \lt 0, \ \ c^{\prime}\lt 0$ のとき、 $d=\sqrt{-c^{\prime}}$ として(q)は双曲線

$\begin{split} &-a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2=d^2 \\ &a_1^2x_1^2-a_2^2x_2^2=-d^2 \end{split}$

である。
(ウ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ のとき
$\alpha_1\neq 0$ 、 $\alpha_2\neq 0$ より、 $c^{\prime}=0$ だが、 $\alpha_1, \alpha_2$ の一方は負なので、この場合はない。
(エ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,1)$ のとき
$\alpha_1>0, \alpha_2 \lt 0, c^{\prime}=0$ または、 $\alpha_1\lt 0, \alpha_2 > 0, c^{\prime}=0$ で、このとき(q)は

$a_1^2x_1^2-a_2^2x_2^2=0$

となる(相交わる２直線)。 (オ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,0)$ のとき
$\alpha_1\neq 0$ 、 $\alpha_2\neq 0$ より、零でない固有値は少なくとも２つなので、この場合はない。
③ ${\rm{sgn}}A=(1,0)$ のとき
$\alpha_1\neq 0$ 、 $\alpha_2\neq 0$ よりこの場合はない。
(2) $r(A)=1$ のとき
$\alpha_1\neq 0$ 、 $\alpha_2= 0$ として、座標系の平行移動 $x_1=y_1-\frac{b_1}{\alpha_1}$ を行うと(q)は、

$\begin{split} &\begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} & x_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & b_1 \\ 0 & 0& b_2 \\ b_1 & b_2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} & x_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1y_1 \\ b_2 \\ b_1y_1-\frac{b_1^2}{\alpha_1}+b_2x_2+c \end{pmatrix} \\ &=\alpha_1y_1^2-y_1b_1+b_2x_2+b_1y_1-\frac{b_1^2}{\alpha_1} \\ &=\alpha_1y_1^2+2b_2x_2+c-\frac{b_1^2}{\alpha_1} \end{split}$

$y_1$ を改めて $x_1$ 、 $c^{\prime}=c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}$ とおけば

$(q) \ \ : \ \ \alpha_1x_1^2+2b_2x_2+c^{\prime}=0$

が得られる。

$(q) \ \ : \ \ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_2 \\ 0 & b_2 & c^{\prime} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} =0$

より改めて

$A= \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tilde{A}= \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_2 \\ 0 & b_2 & c^{\prime} \end{pmatrix}$

とおく。
① ${\rm{sgn}}A=(2,0)$ のとき
$0$ でない $A$ の固有値は一つのみなので、このような場合はない。
② ${\rm{sgn}}A=(1,1)$ のとき
①と同じ理由で、この場合はない。
③ ${\rm{sgn}}A=(1,0)$ のとき
(ア) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,0)$ のとき
$b_2=0$ とすると、 $\tilde{A}$ の $0$ でない固有値の数は2以下となり矛盾。よって、 $b_2\neq 0$ である。また、 $c^{\prime}\neq 0$ とすると、 $\tilde{A}$ を基本変形することにより $0$ でない固有値の数が２以下となり矛盾。よって $c^{\prime}=0$ である。従って(q)は、

$\begin{split} 0&= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_2 \\ 0 & b_2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1x_1 \\ b_2 \\ b_2x_2 \end{pmatrix} \\ &=\alpha_1x_1+2b_2x_2 \end{split}$

で、 $b^{\prime}=-\frac{2b_2}{\alpha_1}$ とおくと、放物線

$x_1^2=b^{\prime}x_2$

となる。
(イ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,1)$ のとき
(ア)と同様にして $b_2\neq 0$ 、 $c^{\prime}=0$ である。 $b_2 > 0$ のとき負の固有値が存在しないので、 $b_2 \lt 0$ である。このとき、負の固有値が２つとなり、この場合はない。
(ウ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ のとき
$c^{\prime}=0$ とする。 $b_2\neq 0$ とすると $\tilde{A}$ の $0$ でない固有値の数は３となり ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ と矛盾する。 $b_2=0$ とすると、 $\tilde{A}$ の $0$ でない固有値の数は１となりこれも ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ と矛盾する。よって $c^{\prime}\neq 0$ である。
$b_2\neq 0$ とすると、基本変形により $\tilde{A}$ の零でない固有値は $\alpha_1,b_2,b_2$ の３つとなり矛盾。よって $b_2\neq 0$ である。よって(q)は、

$\alpha_1x_1^2+c^{\prime}$

で左辺は $>0$ なので、空集合である。
(エ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,1)$ のとき
$b_2\neq 0$ とすると、 $c^{\prime}=0$ のとき、 $\tilde{A}$ の $0$ でない固有値は３つとなり矛盾。また、 $c^{\prime}\neq 0$ とすると基本変形により、 $\tilde{A}$ の $0$ でない固有値は３つとなり矛盾。よって、 $b_2=0$ である。このとき、 $\alpha_1 > 0$ より、 $c^{\prime} \lt 0$ である。 $d=\sqrt{-\frac{c^{\prime}}{\alpha_1}}$ とおくと(q)は平行二直線

$x_1^2=d^2$

となる。
(オ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,0)$ のとき
$b_2\neq 0$ または $c^{\prime}\neq 0$ とすると、 $\tilde{A}$ の固有値の数は２以上であるので矛盾。よって、 $b_2=c^{\prime}=0$ である。このとき(q)は直線

$x_1^2=0$

となる。
(3) $r(A)=0$ のとき
$\alpha_1=\alpha_2=0$ より、(q)は、

$b_1x_1+b_2x_2+c=0$

となり(q)は一次式となり、この場合はない。よって、以上で二次曲線の分類が完了した。

(2)③(オ)のとき $A[\boldsymbol{x}]=0$ は一次式と同値であるから除く。さらに空集合および一点を除けば、二次曲線は五種類

$\begin{split} &(1)①(イ) \ \ 楕円 \ \ : \ \ a_1^2+a_2^2=d^2 \\ &(1)②(イ) \ \ 双曲線 \ \ : \ \ a_1^2-a_2^2=\pm d^2 \\ &(1)②(エ) \ \ 相交わる二直線 \ \ : \ \ a_1^2-a_2^2=0 \\ &(2)③(ア) \ \ 放物線 \ \ : \ \ x_1^2=b^{\prime} \\ &(2)③(エ) \ \ 平行二直線 \ \ : \ \ x_1^2=d^2 \end{split}$

に分類される。この中で、 $A[\boldsymbol{x}$ ]が２つの一次式の積に分解される場合である(1)②(エ)、(2)③(エ)以外のものを本来の二次曲線という。それらは楕円、双曲線、放物線で尽くされる。

5. 二次曲面の分類

$\tilde{A}[\boldsymbol{x}]=0, \ \ A= \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_3 \end{pmatrix}, \ \ \tilde{A}= \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & b_2\\ 0 & 0 & \alpha_3 & b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & c \end{pmatrix}$

とし、 $a_i=\sqrt{|\alpha_i|} \ \ (i=1,2,3)$ とおく。
(1) $r(A)=3$ のとき
平行移動 $x_i=y_i-\frac{b_i}{\alpha_i} \ \ (i=1,2,3)$ により、(Q)は、

$\begin{split} &\begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} & y_2-\frac{b_2}{\alpha_2} & y_3-\frac{b_3}{\alpha_3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & b_2\\ 0 & 0 & \alpha_3 & b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} \\ y_2-\frac{b_2}{\alpha_2} \\ y_3-\frac{b_3}{\alpha_3} \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} & y_2-\frac{b_2}{\alpha_2} & y_3-\frac{b_3}{\alpha_3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1y_1 \\ \alpha_2y_2 \\ \alpha_3y_3 \\ b_1y_1+b_2y_2+b_3y_3-\frac{b_1^2}{\alpha_1}-\frac{b_2^2}{\alpha_2}-\frac{b_3^2}{\alpha_3}+c \end{pmatrix} \\ &=\alpha_1y_1 + \alpha_2y_2 + \alpha_3y_3 + 2b_1y_1+2b_2y_2+2b_3y_3+c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}-\frac{b_2^2}{\alpha_2}-\frac{b_3^2}{\alpha_3} \end{split}$

となる。 $y_i$ を改めて $x_i$ と書き、 $c^{\prime}=c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}-\frac{b_2^2}{\alpha_2}-\frac{b_3^2}{\alpha_3}$ とおくと、

$(Q) \ \ : \ \ \alpha_1x_1^2+\alpha_2x_2^2+\alpha_3x_3^2+c^{\prime}=0 \ \ (\alpha_i \neq 0)$

となる。

$(Q) \ \ : \ \ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c^{\prime} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ 1 \end{pmatrix}$

より改めて

$\tilde{A}= \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c^{\prime} \end{pmatrix}$

とおく。
① ${\rm{sgn}}A=(3,0)$ のとき
(ア) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(4,0)$ のとき
$\alpha_i > 0$ 、 $c^{\prime} > 0$ より(Q)の左辺は $>0$ なので、空集合である。
(イ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,1)$ のとき
$\alpha_i > 0$ 、 $c^{\prime} \lt 0$ より $d=\sqrt{-c^{\prime}}$ とおくと、(Q)は楕円面

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2+a_3^2x_3^2=d^2 \ \ (d > 0)$

である。
(ウ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,0)$ のとき
$c^{\prime}=0$ より(Q)は一点 $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$ である。
(エ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,2)$ のとき
正の固有値は３つあるので、この場合はない。
(オ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,1)$ のとき
(エ)と同様にこの場合はない。
(カ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ のとき
(エ)と同様にこの場合はない。
(キ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,1)$ のとき
(エ)と同様にこの場合はない。
(ク) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,0)$ のとき
(エ)と同様にこの場合はない。
② ${\rm{sgn}}A=(2,1)$ のとき
(ア) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(4,0)$ のとき
$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ のうちいずれかは $0$ であるが一方で、 $\tilde{A}$ すべての固有値は $0$ にならない必要があるので、この場合は起こりえない。
(イ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,1)$ のとき
$\alpha_1 >0, \alpha_2>0, \alpha_3 \lt 0$ とすると、 $c^{\prime} > 0$ である必要がある。 $d=\sqrt{c^{\prime}}$ とおくと(Q)は二葉双曲線

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2-a_3^2x_3^2=-d^2$

である。
(ウ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,0)$ のとき
$\alpha_i\neq 0 \ \ (i=1,2,3)$ より、 $c^{\prime}=0$ である必要があるが、 $\alpha_i$ のうちどれかは負なので、この場合はない。
(エ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,2)$ のとき
$\alpha_1 >0, \alpha_2>0, \alpha_3 \lt 0$ とすると、 $c^{\prime} \lt 0$ である必要がある。 $d=\sqrt{-c^{\prime}}$ とおくと(Q)は一葉双曲線

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2+a_3^2x_3^2=d^2$

である。
(オ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,1)$ のとき
$\alpha_1 >0, \alpha_2>0, \alpha_3 \lt 0$ とすると、 $c^{\prime} = 0$ である必要がある。このとき(Q)は楕円錐面

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2-a_3^2x_3^2=0$

である。
(カ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ のとき
$\alpha_i\neq 0 \ \ (i=1,2,3)$ より、 $0$ でない固有値が３つあるので、この場合はない。
(キ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,1)$ のとき
(カ)と同様にこの場合はない。
③ ${\rm{sgn}}A=(2,0)$ のとき
$\alpha_i\neq 0 \ \ (i=1,2,3)$ より $0$ でない固有値が３つあるので、この場合はない。
④ ${\rm{sgn}}A=(1,1)$ のとき
③と同様に、この場合はない。
⑤ ${\rm{sgn}}A=(1,0)$ のとき
③と同様に、この場合はない。
(2) $r(A)=2$ のとき
$\alpha_1\neq 0, \alpha_2\neq 0, \alpha_3= 0$ とし、 $x_i=y_i-\frac{b_i}{\alpha_i} \ \ (i=1,2)$ とすると、(Q)は

$\begin{split} &\begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} & y_2-\frac{b_2}{\alpha_2} & x_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} \\ y_2-\frac{b_2}{\alpha_2} \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} & y_2-\frac{b_2}{\alpha_2} & x_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1y_1 \\ \alpha_2y_2 \\ b_3 \\b_1y_1+b_2y_2+b_3y_3+c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}-\frac{b_2^2}{\alpha_2} \end{pmatrix} \\ &=\alpha_1y_1^2 + \alpha_2y_2^2 + 2b_3y_3 +c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}-\frac{b_2^2}{\alpha_2} \end{split}$

より、 $y_1, y_2$ を改めて[texx_1,x_2]とし、 $c^{\prime}=c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}-\frac{b_2^2}{\alpha_2}$ とすると

$(Q) \ \ : \ \ \alpha_1x_1^2+\alpha_2x_2^2+2b_3x_3+c^{\prime}=0$

となる。

$(Q) \ \ : \ \ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 \\ 0 & 0 & b_3 & c^{\prime} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ 1 \end{pmatrix}$

より。改めて

$\begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 \\ 0 & 0 & b_3 & c^{\prime} \end{pmatrix}$

とおく。
① ${\rm{sgn}}A=(3,0)$ のとき
$A$ の $0$ でない固有値は２つなので、この場合はない。
② ${\rm{sgn}}A=(2,1)$ のとき
①と同様にこの場合はない。 ③ ${\rm{sgn}}A=(2,0)$ のとき
(ア) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(4,0)$ のとき
$b_3=0$ のとき、 $0$ でない固有値は３個以下となり矛盾するので、 $b_3\neq 0$ である。 $c^{\prime}\neq 0$ とすると、 $\tilde{A}$ は基本変形により次の形に変形される

$\tilde{A}= \begin{pmatrix} \alpha_1 & & & \\ & \alpha_2 & & \\ & & -\frac{b_3^2}{c^{\prime}} & \\ &&&c^{\prime} \end{pmatrix}$

このとき $\tilde{A}$ は少なくとも１つ負の固有値を持つことになるので矛盾。よって、 $c^{\prime}=0$ となる。従って(Q)は、

$\begin{split} &\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 \\ 0 & 0 & b_3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &=\alpha_1x_1^2+\alpha_2x_2^2+2b_3x_3 \end{split}$

より、 $b^{\prime}=-2b_3$ と置くことにより、楕円放物面

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2=b^{\prime}x_3 \ \ (b^{\prime}\neq 0)$

となる。
(イ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,1)$ のとき
$b_3\neq 0$ で、 $c^{\prime}=0$ とすると負の固有値は0個または2個となるので矛盾。よって $c^{\prime}\neq 0$ である。このとき(Q)は $x_3\rightarrow x_3-\frac{c^{\prime}}{2b_3}$ の平行移動を行うことにより、楕円放物面

$a_1^2+a_2^2=b^{\prime}x_3 \ \ (b^{\prime}\neq 0)$

により(ア)と同じ場合になる。
(ウ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,0)$ のとき
$b_3\neq 0$ とすると $\tilde{A}$ の固有値の数は４となり矛盾。よって $b_3=0$ 、 $c^{\prime} >0$ である必要がある。よって(Q)の左辺は $>0$ となり空集合である。
(エ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,2)$ のとき
(ア)と同様に、 $c^{\prime}=0$ であり、 $b_3 \lt 0$ である必要がある。このとき(ア)と同じ場合になる。
(オ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,1)$ のとき
$b_3\neq 0$ とすると $\tilde{A}$ の固有値の数は４となり矛盾。よって $b_3=0$ である。このとき $c^{\prime} > 0$ である必要がある。 $d=\sqrt{-c^{\prime}}$ とおくと、(Q)は楕円柱面

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2=d^2 \ \ (d > 0)$

となる。
(カ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ のとき
$b_3\neq 0$ または $c^{\prime}\neq 0$ のとき、 $\tilde{A}$ の固有値の数は３以上となるので矛盾。よって、 $b_3=0$ かつ $c^{\prime}=0$ である。このとき(Q)は

$a_1^2x_1^2+a_2^2x_2^2=0$

で $x_1=x_2=0$ がなす集合

$\{(0,0,x_3) \ : \ x_3\in\mathbb{R} \}$

である。即ち直線である。
(キ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,1)$ のとき
(カ)と同様にして[ tex:b_=0]かつ $c^{\prime}=0$ である。このとき $\tilde{A}$ の２つの固有値 $\alpha_1, \alpha_2$ は正なので矛盾。よってこの場合はない。
(ク) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,0)$ のとき
$\tilde{A}$ の固有値の数は少なくとも２つなので、この場合はない。
④ ${\rm{sgn}}A=(1,1)$ のとき
$\alpha_1 >0$ 、 $\alpha_2 \lt 0$ とする。
(ア) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(4,0)$ のとき
$\tilde{A}$ は少なくとも１つの負の固有値を持つので矛盾。よってこの場合はない。
(イ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,1)$ のとき
$c^{\prime}\neq 0$ とすると $\tilde{A}$ は２つの負の固有値をもつので矛盾。よって、 $c^{\prime}=0$ である。このとき $b^{\prime}=-2b_3$ とおくと、(Q)は双曲放物面

$a_1^2x_1^2-a_2^2x_2^2=b^{\prime}x_3 \ \ (b^{\prime}\neq 0)$

となる。
(ウ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,0)$ のとき
$b_3\neq 0$ のとき $\tilde{A}$ の固有値の数は４となり矛盾。よって $b_3=0$ である。このとき $\tilde{A}$ には少なくとも負の固有値が１つあるので矛盾。よってこの場合はない。
(エ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,2)$ のとき
$c^{\prime}=0$ のとき $\tilde{A}$ の負の固有値の数は１または３より矛盾。よって、 $c^{\prime}\neq 0$ である。また $b_3=0$ のとき $\tilde{A}$ の固有値の数は３となり矛盾。よって $b_3\neq 0$ である。このとき(Q)は $x_3\rightarrow x_3-\frac{c^{\prime}}{2b_3}$ の平行移動を行うことで双曲放物面

$a_1^2x_1^2-a_2^2x_2^2=b^{\prime}x_3$

となる。
(オ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,1)$ のとき
$b_3\neq 0$ のとき、 $\tilde{A}$ の固有値の数は４となるので矛盾。よって $b_3=0$ である。このとき $c^{\prime} > 0$ である必要がある。このとき $d=-c^{\prime}$ として(Q)は双曲柱面

$a_1^2x_1^2-a_2^2x_2^2=d \ \ (d\neq 0)$

となる。
(カ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ のとき
$b_3\neq 0$ または $c^{\prime}\neq 0$ のとき $\tilde{A}$ の固有値の数は３以上となり矛盾。よって $b_3=0$ かつ $c^{\prime}=0$ である。 $\tilde{A}$ は少なくとも１つ負の固有値をもつのでこの場合はない。
(キ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,1)$ のとき
(カ)と同様に $b_3=c^{\prime}=0$ である。このとき(Q)は相交わる二平面

$a_1^2x_1^2-a_2^2x_2^2=0$

である。 (ク) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,0)$ のとき
$\tilde{A}$ には少なくとも０でない２つの固有値が存在するのでこの場合はない。
(3) $r(A)=1$ のとき
$\alpha_1\neq 0$ 、 $\alpha_2=\alpha_3=0$ とする。 $x_1=y_1-\frac{b_1}{\alpha_1}$ とすると(Q)は、

$\begin{split} &\begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} & x_2 & x_3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} \\ x_2 \\ x_3 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} y_1-\frac{b_1}{\alpha_1} & x_2 & x_3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1y_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_1y_1+b_2x_2+b_3x_3+c-frac{b_1^2}{\alpha_1} \end{pmatrix} \\ &=\alpha_1y_1^2+2b_2x_2+2b_3x_3+c-\frac{b_1^2}{\alpha_1} \end{split}$

より、 $y_1$ を改めて $x_1$ とおき、[tex:c^{\prime}=c-\frac{b_1²}{\alpha_1}]とおくと

$(Q) \ \ : \ \ \alpha_1y_1^2+2b_2x^2+2b_3x_3+c-\frac{b_1^2}{\alpha_1}$

となる。改めて

$\tilde{A}= \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 \\ 0 & b_2 & b_3 & c \end{pmatrix}$

とおく。
① ${\rm{sgn}}A=(3,0)$ のとき
固有値の数が１のためこの場合はない。
② ${\rm{sgn}}A=(2,1)$ のとき
①と同様にこの場合はない。
③ ${\rm{sgn}}A=(2,1)$ のとき
①と同様にこの場合はない。
④ ${\rm{sgn}}A=(1,1)$ のとき
①と同様にこの場合はない。
⑤ ${\rm{sgn}}A=(1,0)$ のとき
$\alpha_1 > 0$ である。
(ア) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(4,0)$ のとき
$b_2\neq 0$ とすると $r(A)=3$ となり矛盾。また、 $b_2=0$ としても $r(A)\le 3$ となり矛盾。よってこの場合はない。
(イ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,1)$ のとき
(ア)と同様にこの場合はない。
(ウ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(3,0)$ のとき
$c^{\prime}\neq 0$ とすると $\tilde{A}$ は、

$\begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{b_3^2}{c^{\prime}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c^{\prime} \end{pmatrix}$

と基本変形される。このとき少なくとも負の固有値が１つあるので矛盾。よって $c^{\prime}=0$ である。よって、

$(Q) \ \ : \ \ \alpha_1x_1^2+2b_2x_2+2b_3x_3=0$

である。

$\begin{pmatrix} x_1^{\prime} \\ x_2^{\prime} \\ x_3^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{b_2} & \frac{1}{b_3} \\ 0 & -\frac{1}{b_2} & \frac{1}{b_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

の変数変換をした後、 $b^{\prime}=^\frac{2b_2}{\alpha_1}$ とおくと(Q)は放物柱面

$x_1^2=b^{\prime}x_2$

となる。
(エ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,2)$ のとき
(ア)と同様にしてこの場合はない。
(オ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,1)$ のとき

の変数変換により、(Q)は放物柱面

$x_1^2=b^{\prime}x_2$

となる。
(カ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(2,0)$ のとき
$b_2\neq 0$ または $b_3\neq 0$ のとき $r(A)=3$ より矛盾。よって、 $b_2=b_3=0$ である。このとき $c^{\prime} > 0$ である必要がある。このとき(Q)の左辺は $> 0$ より空集合である。
(キ) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,1)$ のとき
(オ)と同じ理由により $b_2=b_3=0$ である。このとき $c^{\prime} \lt 0$ である必要がある。 $d~\sqrt{-c^{\prime}}$ とおくと(Q)は平行二平面

$x_1^2=d^2$

である。
(ク) ${\rm{sgn}}\tilde{A}=(1,0)$ のとき
$b_2\neq 0$ または $b_3\neq 0$ または $c^{\prime}\neq 0$ であれば $r(A)\ge 1$ より矛盾。よって $b_2=b_3=c^{\prime}=0$ である。このとき(Q)は平面