【線形代数学入門】正規変換のスペクトル分解

1. 記事の目的
下記の記事で正規変換とその対角化について述べた。本記事では、射影子と呼ばれるものを用いて、正規変換を分解する方法(スペクトル分解)について述べる。スペクトル分解の応用として、正規変換がエルミート変換およびユニタリ変換になるための条件を述べる。

2. 射影子
ユニタリ空間 $V$ の部分空間を $W$ とする。 $W$ の直交補空間を $W^{\bot}$ とすれば下記の記事の定理4.1より

$V=W\oplus W^{\bot}$

である。

camelsan.hatenablog.com

即ち、 $V$ の任意の元 $\boldsymbol{x}$ は、

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime}, \ \ \boldsymbol{x}^{\prime}\in W, \ \ \boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W^{\bot}$

と一意的に表される。このとき

$P:V\rightarrow V;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}^{\prime}$

は線型変換である。 $P$ を $V$ の $W$ への射影子という。

$V$ の線型変換がある部分空間の射影子となるための条件が次のように述べられる。

定理2.1
ユニタリ空間 $V$ の線型変換 $P$ が、ある部分空間 $W$ への射影子であるためには、

$P^2=P, \ \ P^{\ast}=P\tag{1}$

が成り立つことが必要かつ十分な条件である。
証明： $P$ が $W$ への射影子であると仮定する。 $\boldsymbol{x}\in V$ として、

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime}, \ \ \boldsymbol{x}^{\prime}\in W, \ \ \boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W^{\bot}$

と表すと、

$\begin{split} P^2\boldsymbol{x}&=P^2(\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime})=P(\boldsymbol{x}^{\prime})=P(\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{0})=\boldsymbol{x}^{\prime} \\ P\boldsymbol{x}&=P(\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime})=\boldsymbol{x}^{\prime} \end{split}$

より、 $P^2=P$ である。 $P^{\ast}=P$ を証明する。 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ を、

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime},\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}^{\prime\prime}, \ \ \boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}\in W, \ \ \boldsymbol{x}^{\prime\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime\prime} \in W^{\bot}$

と表せば、

$\begin{split} (P\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})=(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}^{\prime\prime})&=(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime})+(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime\prime}) \\ &=(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}) \\ &=(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime})+(\boldsymbol{x}^{\prime\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}) \\ &=(\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}) \\ &=(\boldsymbol{x}, P\boldsymbol{y}) = (P^{\prime}\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \end{split}$

より、 $P^{\ast}=P$ である。逆に $P$ が式(1)を満たすとき、 $W=P(V)$ とおく。 $\boldsymbol{x}^{\prime}\in W$ ならば、 $V$ のある元 $\boldsymbol{x}_0$ により、 $\boldsymbol{x}^{\prime}=P\boldsymbol{x}_0$ と書けるので、

$P\boldsymbol{x}^{\prime}=P^2\boldsymbol{x}_0=P\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}^{\prime}$

また、 $\boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W^{\bot}$ ならば、 $V$ の任意の元 $\boldsymbol{y}$ に対し、 $P\boldsymbol{y}\in W$ であるから、

$(P\boldsymbol{x}^{\prime\prime}, \boldsymbol{y})=(P^{\ast}\boldsymbol{x}^{\prime\prime}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}^{\prime\prime}, P\boldsymbol{y})=0$

となり、 $P\boldsymbol{x}^{\prime\prime}~\boldsymbol{0}$ となる。従って、 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime} \ \ (\boldsymbol{x}^{\prime}\in W, \boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W^{\bot})$ に対して、

$P\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{x}^{\prime}+P\boldsymbol{x}^{\prime\prime}=\boldsymbol{x}^{\prime}$

が成り立つ。即ち $P$ は $V$ の $W=P(V)$ への射影子となる。

２つの射影子に関して、次が成り立つ。
定理2.2
$W_1,W_2$ をユニタリ空間 $V$ の部分空間、 $P_1,P_2$ をそれぞれ $W_1,W_2$ への射影子とする。 $W_1$ と $W_2$ が直交するためには、 $P_1P_2=0$ (または $P_2P_1=0$ )が成立することが必要かつ十分な条件である。
証明： $W_1$ と $W_2$ が直交するとき、 $\boldsymbol{x}\in W_2$ とし、任意の $\boldsymbol{y}\in W_1$ をとると、

$(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=0$

より、 $\boldsymbol{x}\in W_1^{\bot}$ である。即ち、 $W_2\subset W_1^{\bot}$ である。このとき[tex\boldsymbol{x}\in V]に対し、 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{\prime\prime} \ \ (\boldsymbol{x}^{\prime}\in W_2, \boldsymbol{x}^{\prime\prime}\in W_2^{\bot})$ とすると、

$P_1P_2\boldsymbol{x}=P_1\boldsymbol{x}^{\prime}=P_1(\boldsymbol{0}+\boldsymbol{x}^{\prime})=\boldsymbol{0}$

よって、 $P_1P_2=0$ である。逆に、 $P_1P_2=0$ ならば、 $\boldsymbol{x}_1\in W_1$ 、 $\boldsymbol{x}_2\in W_2$ に対し、

$\begin{split} (\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)&=(P_1\boldsymbol{x}_1,P_2\boldsymbol{x}_2) \\ &=(\boldsymbol{x}_1,P_1^{\prime}P_2\boldsymbol{x}_2) \\ &=(\boldsymbol{x}_1,P_1P_2\boldsymbol{x}_2) \\ &=0 \end{split}$

となる。 $P_2P_1$ に関しても、上記の証明で $W_1$ と $W_2$ を入れ替えれば証明できる。

3. スペクトル分解
$T$ がユニタリ空間 $V$ の正規変換であるとする。 $T$ の相異なる固有値すべてを $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k$ 、対応する固有空間を $W_1,W_2,\dots,W_k$ とする。下記の記事、定理3.7より、 $W_1,W_2,\dots,W_k$ は互いに直交し、

$V=W_1\oplus W_2\oplus \dots \oplus W_k$

である。

camelsan.hatenablog.com

$W_i$ への射影子を $P_i$ とすれば、定理2.2と合わせると、

$P_1+P_2+\dots +P_k=I, \ \ P_iP_j=0 \ \ (i\neq j)\tag{2}$

$T=\beta_1P_1+\beta_2P_2+\dots+\beta_kP_k\tag{3}$

が成り立つ。これを正規変換 $T$ のスペクトル分解という。

正規変換のスペクトル分解に関し、次の定理が成り立つ。
定理3.1
ユニタリ空間 $V$ の正規変換 $T$ に対し、 $T$ の相異なる固有値 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k$ とすれば、(2)、(3)をみたす射影子 $P_1,P_2,\dots,P_k$ が一意的に決まる。逆に(2)を満たす射影子 $P_1,P_2,\dots,P_k$ と相異なる複素数 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k$ があるとき、(3)によって定義される線型変換 $T$ は正規変換である。
証明：スペクトル分解の一意性を証明する。射影子 $P_1^{\prime},P_2^{\prime},\dots,P_k^{\prime}$ によるもう一つのスペクトル分解

$P_1^{\prime}+P_2^{\prime}+\dots +P_k^{\prime}=I, \ \ P_i^{\prime}P_j^{\prime}=0 \ \ (i\neq j)$

$T=\beta_1P_1^{\prime}+\beta_2P_2^{\prime}+\dots+\beta_kP_k^{\prime}$

があったとする。 $P_i,P_i^{\prime}$ がそれぞれ $W_i,W_i^{\prime}$ への射影子であるとする。 $\boldsymbol{x}^{\prime}\in W_i^{\prime}$ とすると、

T(\boldsymbol{x}^{\prime})=\beta_i\boldsymbol{x}^{\prime}

で、 $\boldsymbol{x}^{prime}$ は $T$ の固有値 $\beta_i$ に対する固有ベクトルである。よって $\boldsymbol{x}^{\prime}\in W_i$ である。即ち、

$W_i^{\prime}\subseteq W_i$

となる。ある $i$ で $W_i^{\prime}\neq W_i$ 即ち、 $W_i^{\prime}\subsetneq W_i$ とすると、

$V=\displaystyle\oplus_{i=1}^k W_i^{\prime}\subsetneq \displaystyle\oplus_{i=1}^k W_i=V$

より矛盾。従って、任意の $i$ で、 $W_i=W_i^{\prime}$ である。したがって、 $P_i=P_i^{\prime}$ である。(2)をみたす射影子 $P_1,P_2,\dots,P_k$ があるとき、(3)によって定義される線型変換 $T$ は正規変換となる。実際、

$TT^{\ast}=\beta_1\overline{\beta_1}P_1+\beta_2\overline{\beta_2}P_2+\dots+\beta_k\overline{\beta_k}P_k=T^{\ast}T$

である。

4. エルミート変換とユニタリ変換
ユニタリ空間 $V$ の線型変換を $T$ とする。 $T^{\ast}$ をその随伴変換とする。
$T^{\ast}=T$ をみたすとき、 $T$ をエルミート変換という。
$T^{\ast}=T^{-1}$ をみたすとき、 $T$ をユニタリ変換という。

エルミート変換とユニタリ変換はともに、正規変換である。

正規変換がエルミート変換およびユニタリ変換になるための条件は次のように述べられる。
定理4.1
$T$ ユニタリ空間 $V$ の正規変換であるとする。
(1) $T$ がエルミート変換 $\iff$ $T$ の固有値がすべて実数
(2) $T$ がユニタリ変換 $\iff$ $T$ の固有値がすべて絶対値 $1$ の複素数
証明： $T$ のスペクトル分解を、

$T=\beta_1P_1+\beta_2P_2\dots+\beta_kP_k$

とすると、

$\begin{split} T^{\prime}&=\overline{\beta_1}P_1^{\prime}+\overline{\beta_2}P_2^{\prime}\dots+\overline{\beta_k}P_k^{\prime} \\ &=\overline{\beta_1}P_1+\overline{\beta_2}P_2\dots+\overline{\beta_k}P_k \end{split}$

である。
(1)

$\begin{split} Tがエルミート変換 &\iff T^{\ast}=T \\ &\iff \beta_i = \overline{\beta_i} \ \ (i=1,\dots,k) \\ &\iff \beta_iは実数 \ \ (i=1,\dots,k) \end{split}$

より成り立つ。
(2)

$\begin{split} Tがユニタリ変換 &\iff T^{\ast}=T^{-1} \\ &\iff T^{\ast}T=I \\ &\iff I=|\beta_1|^2P_1+|\beta_2|^2P_2+\dots+|\beta_k|^2P_k \\ &\iff |\beta_i|^2=1 \ \ (i=1,\dots,k) \end{split}$