【線形代数学入門】固有値と固有ベクトル

1. 記事の目的
本記事では、線形空間の固有値と固有ベクトルについて述べる。本記事では、 $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする。

2. 固有値と固有ベクトルの定義
$V$ を $K$ 上の線形空間、 $T$ を $V$ の線型変換とする。
$T$ をで写しても、方向が変わらないベクトル、即ち

$T\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x} \ \ (\alpha\in K)$

となる $0\neq\boldsymbol{x}\in V$ を、固有ベクトル、このときの数 $\alpha$ を固有値という。
$\boldsymbol{x}$ のことを $T$ の固有値 $\alpha$ に対する固有ベクトルと言ったりもする。

$\alpha$ が $T$ の固有値であるとき、 $\alpha$ に対する $T$ の固有値のベクトル全部と、零ベクトル $\boldsymbol{0}$ 、の集合

$W_\alpha = \{\boldsymbol{x}\in V | T\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x} \}\cup\{\boldsymbol{0}\}$

を、固有値 $\alpha$ に対する $T$ の固有空間という。

行列に対する固有値、固有ベクトルは次のように定義される。
$A$ が $n$ 次正方行列であるとき、 $\mathbb{C}^n$ の線型変換

$T_A : \mathbb{C}^n\rightarrow \mathbb{C}^n ; \boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}$

の固有値、固有ベクトル、固有空間を、それぞれ行列 $A$ の固有値、固有ベクトル、固有空間という。

$T$ が複素線形空間 $V$ の線型変換であるとき、 $V$ の基底 $(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots, \boldsymbol{e}_n;\varphi)$ に関する $T$ を表現した行列を $A$ とする。但し、

$\varphi:V\rightarrow \mathbb{C}^n;x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n\mapsto \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

である。このとき、 $T$ と $A$ の固有値は一致し、固有ベクトル、固有空間は $\varphi$ によって写り合う。

固有ベクトルと線型独立性に関して、次の定理が成り立つ。
定理2.1
$V$ を $K$ 上のベクトル空間、 $T$ を $V$ の線型変換とする。このとき、 $T$ の相異なる固有値に対する固有ベクトルは線型独立である。
証明： $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k$ を相異なる固有値、 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_k$ を対応する固有ベクトルとする。 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_k$ が線形従属であったと仮定する。このとき $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{i-1}$ は線型独立だが、 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_i$ は線形従属であるような $i \ \ (2\le i \le k)$ が存在する。このとき、

$\boldsymbol{x}_i=c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}\tag{1}$

と表される。式(1)の両辺を $T$ で写すと、

$\beta_i\boldsymbol{x}_i=c_1\beta_1\boldsymbol{x}_1+c_2\beta_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_{i-1}\beta_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}\tag{2}$

である。一方、式(1)の両辺に $\beta_i$ をかけると、

$\beta_i\boldsymbol{x}_i=c_1\beta_i\boldsymbol{x}_1+c_2\beta_i\boldsymbol{x}_2+\dots+c_{i-1}\beta_i\boldsymbol{x}_{i-1}\tag{3}$

となる。式(2)、(3)より、

$c_1(\beta_1-\beta_i)\boldsymbol{x}_1+c_2(\beta_2-\beta_i)\boldsymbol{x}_2+\dots+c_{i-1}(\beta_{i-1}-\beta_i)\boldsymbol{x}_{i-1}=\boldsymbol{0}$

である。 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{i-1}$ は線型独立なので、

$c_j(\beta_j-\beta_i)=0 \ \ (j=1,2,\dots,i-1)$

となる。仮定により、 $\beta_i\neq\beta_j$ より、 $c_j=0 \ \ (j=1,2,\dots,i-1)$ である。従って、式(1)より、 $\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{0}$ となり、 $\boldsymbol{x}_i$ が固有ベクトル( $\neq\boldsymbol{0}$ )であるという仮定に矛盾する。よって、 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_k$ は線型独立である。

定理2.1から、 $T$ の相異なる固有値 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k$ に対する固有空間を $W_1,W_2,\dots,W_k$ とすると、和空間 $W_1+W_2+\dots+W_k$ は直和である。実際( $k=2$ のときに証明する)、 $\boldsymbol{x}\in W_1\cap W_2$ で、 $\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$ とすると、

$T\boldsymbol{x}=\beta_1\boldsymbol{x}, \ \ T\boldsymbol{x}=\beta_2\boldsymbol{x}$

である。よって、 $(\beta_1-\beta_2)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}, \ \ \beta_1\neq\beta_2$ より $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ となり矛盾。従って、 $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{0}\}$ となり、下記の記事の定理3.1より $W_1+W_2=W_1\oplus W_2$ である。

camelsan.hatenablog.com

しかし、直和 $W_1\oplus W_2\oplus \dots\oplus W_k$ は $V$ 全体に一致するとは限らない。固有空間の和が全体に一致するための条件は次のように述べられる。
定理2.2
$V$ を $K$ 上のベクトル空間、 $T$ を $V$ の線型変換とする。
$T$ が適当な基底に関して対角行列で表現されるためには、

$V=W_1\oplus W_2\oplus \dots\oplus W_k$

が成り立つことが必要かつ十分な条件である。
証明：基底 $(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ に関する $T$ の行列 $A$ が対角行列

$A= \begin{pmatrix} \alpha_1 & & & \Huge{0} \\ & \alpha_2 & & \\ &&\ddots& \\ \Huge{0} & & & \alpha_n \end{pmatrix}$

であると仮定する。 $T_A=\varphi\circ T\circ \varphi^{-1}$ であるから、

$\begin{split} \varphi(T\boldsymbol{e}_i)&=T_A(\varphi(\boldsymbol{e}_i))= \begin{pmatrix} \alpha_1 & & & & \Huge{0} \\ & \ddots & & & \\ &&\alpha_i& & \\ & & & \ddots & \\ \Huge{0} & & & & \alpha_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \\ &=\alpha_i \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} =\alpha_i\varphi(\boldsymbol{e}_i) \end{split}$

従って、 $T\boldsymbol{e}_i=\alpha_i\boldsymbol{e}_i$ である。即ち $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ はすべてTの固有ベクトルである。固有値 $\alpha_i$ に対応する固有空間を $W_i$ とし、 $V$ の基底の内で $\alpha_i$ を固有値に持つものを、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_i$ とする。このとき、

$\langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_i \rangle\subset W_i$

である。ここで、

$\langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_i \rangle\neq W_i$

と仮定すると、 $\boldsymbol{v}\in W_i$ で、 $v\notin \langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_i \rangle$ となる元が存在する。 $\boldsymbol{v}$ は $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_i$ 以外の $V$ の基底の線型結合で表される。しかし、それらは $\alpha_i$ 以外の固有値に対応する固有ベクトルであるため、これは $\boldsymbol{v}\in W_i$ に矛盾する。よって、

$\langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_i \rangle= W_i$

である。従って、 $V$ の基底は $T$ のいずれかの固有空間を生成する基底となるので、

$V=W_1\oplus W_2\oplus\dots\oplus W_k$

となる。逆に、

$V=W_1\oplus W_2\oplus\dots\oplus W_k$

とする。各 $W_i$ の基底を集めることで $T$ の固有ベクトルからなる $V$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ が存在する。このとき $T\boldsymbol{e}_i=\alpha_i\boldsymbol{e}_i$ より、基底 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ に関して $T$ を表現した行列は対角行列

$\begin{pmatrix} \alpha_1 & & & \Huge{0} \\ & \alpha_2 & & \\ &&\ddots& \\ \Huge{0} & & & \alpha_n \end{pmatrix}$

に等しい。

定理2.2を行列の言葉で表現すると次のようになる。
定理2.3
(1) $n$ 次正方行列 $A$ に対し、適切な(複素)正則行列 $P$ をとって、 $P^{-1}AP$ が対角行列になるようにするためには、 $n$ 個の線型独立な固有ベクトルが存在することが必要かつ十分な条件である。
(2) $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\dots,\boldsymbol{p}_n$ が線型独立な固有ベクトルであるとき、それらを並べた行列 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{p}_1 \ \boldsymbol{p}_2 \ \dots \ \boldsymbol{p}_n \end{pmatrix}$ を $P$ とすれば、 $P^{-1}AP$ は対角行列である。
証明：(1) $\mathbb{C}^n$ の基底 $\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\dots,\boldsymbol{f}_n$ に関する $T_A$ の行列表示 $B$ が対角行列であるとする。 $P$ を $\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\dots,\boldsymbol{f}_n$ から $\mathbb{C}^n$ の単位ベクトルからなる基底への変換行列とすると、

$(T_A)_B=T_P\circ T_A\circ T_P^{-1}$

より、

$\begin{split} T_P(T_A\boldsymbol{f}_i)&=(T_A)_B(T_P\boldsymbol{f}_i) \\ &= \begin{pmatrix} \alpha_1 & & & \Huge{0} \\ & \alpha_2 & & \\ &&\ddots& \\ \Huge{0} & & & \alpha_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} =\alpha_i\boldsymbol{e}_i=P\alpha_i\boldsymbol{f}_i \end{split}$

である。従って

$A\boldsymbol{f}_i=\alpha_i\boldsymbol{f}_i$

で $\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\dots,\boldsymbol{f}_n$ は $n$ 個の線型独立な固有ベクトルである。逆に $\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\dots,\boldsymbol{f}_n$ がすべて $A$ の固有ベクトルのとき、

$T_A\boldsymbol{f}_i=\alpha_i\boldsymbol{f}_i$

とし、基底 $\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\dots,\boldsymbol{f}_n$ から単位ベクトルからなる基底 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ への変換行列を $P$ とすると $P^{-1}AP$ は対角行列

\begin{pmatrix} \alpha_1 & & & \Huge{0} \\ & \alpha_2 & & \\ &&\ddots& \\ \Huge{0} & & & \alpha_n \end{pmatrix}

となる。
(2) $\boldsymbol{p}_j$ を $A$ の固有値 $\alpha_j$ に対する固有ベクトルとする。 $P^{-1}AP$ の第 $j$ 列のベクトルを $\boldsymbol{b}_j$ とすると、

$\boldsymbol{b}_j=P^{-1}A\boldsymbol{p}_j=P^{-1}\alpha_j\boldsymbol{p}_j=\alpha_j\boldsymbol{e}_j$

となる。但し、 $\boldsymbol{e}_j$ は $n$ 項単位ベクトルである。よって

$P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \alpha_1 & & & \Huge{0} \\ & \alpha_2 & & \\ &&\ddots& \\ \Huge{0} & & & \alpha_n \end{pmatrix}$

となる。

3. 固有値と固有ベクトルの計算方法
固有値・固有ベクトルの計算の仕方を具体例から始める。
例3.1

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

とする。 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める。

$\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^n$

として、数 $\alpha$ が $A$ の固有値であるためには、斉次一次方程式

$A\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x}$

が自明でない解を持つことが必要かつ十分な条件である。

このとき

$\begin{split} A\boldsymbol{x}&= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2x_1+x_2 \\ x_1+2x_2 \end{pmatrix} \\ \alpha\boldsymbol{x}&= \begin{pmatrix} \alpha x_1 \\ \alpha x_2 \end{pmatrix} \end{split}$

より

$\begin{split} (\alpha -2)x_1-x_2=0 \\ -x_1+(\alpha -2)x_2=0 \end{split} \tag{4}$

である。即ち

$\begin{pmatrix} \alpha -2 & -1 \\ -1 & \alpha -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =0$

で、 $\boldsymbol{x}$ が自明でない解をもつには、行列

$\begin{pmatrix} \alpha -2 & -1 \\ -1 & \alpha -2 \end{pmatrix}$

が正則行列でないことが必要十分条件である。このとき下記の記事定理7.2より

$\begin{vmatrix} \alpha -2 & -1 \\ -1 & \alpha -2 \end{vmatrix} =0$

であることが必要十分条件である。

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よって

$\begin{split} 0&=(\alpha -2)^2 -1 \\ &=\alpha-2 -4\alpha +4 -1 \\ &=\alpha^2 -4\alpha +3 &=(\alpha -3)(\alpha -1) \end{split}$

より、 $\alpha = 3, \ \ 1$ である。 $\alpha =1$ のとき、

$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$

を解く。式(4)から、

$-x_1-x_2=0$

より、解の一つとして

$\boldsymbol{p}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

が得られる。また、 $\alpha =3$ のとき

$A\boldsymbol{x}=3\boldsymbol{x}$

を解く。式(4)から、

$x_1-x_2=0$

より、解の一つとして

$\boldsymbol{p}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

が得られる。従って、 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2$ はそれぞれ固有値 $1,3$ の固有ベクトルである。

例3.1から示されるように、 $n$ 次正方行列 $A$ の固有値を求めるためには、次の方程式を解けばよい。

${\rm{det}}(xE-A)=0$

この式の左辺を $\Phi_A(x)$ とおき、 $\Phi_A(x)$ を行列 $A$ の固有方程式という。また、 $\Phi_A(x)=0$ を固有方程式といい、固有方程式の根を、 $A$ の特性婚という。

$V$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間とし、 $T$ を $V$ の線型変換とする。 $T$ の行列表示 $A$ の固有多項式、固有方程式、特性根を、それぞれ線型変換 $T$ の固有多項式、固有方程式、特性根という。

$T$ の固有多項式は、行列で表示した際、基底の取り方には依存しない。実際、 $T$ の行列表示 $A$ 以外に、行列表示 $B$ があったとすると、 $B=P^{-1}AP$ となる正方行列 $P$ が存在する。このとき、

$\begin{split} \Phi_B(x)&={\rm{det}}(xE-P^{-1}AP) \\ &={\rm{det}}(xP^{-1}P-P^{-1}AP) \\ &={\rm{det}}(P^{-1}(xE-A)P) \\ &=({\rm{det}}P)^{-1}{\rm{det}}(xE-A){\rm{det}}P \\ &={\rm{det}}(xE-A) = \Phi_A(x) \end{split}$

より、基底の変換前後で、固有多項式は変わらない。

特性根が実際に、こゆうちであることは次の定理から保証される。
定理3.2
(1) 行列 $A$ (または複素線形空間の線型変換 $T$ )の固有値は、 $A$ (または $T$ )の特性根と一致する。
(2) $\mathbb{R}$ 上の線形空間の線型変換の固有値は $T$ の実数の特性根と一致する。
証明：(1) 複素数 $\alpha$ が行列 $A$ の固有値であるということは、 $A\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x}$ をみたす $\boldsymbol{0}$ でないベクトル $\boldsymbol{x}$ が存在するということであり、それは斉次一次方程式

$(\alpha E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$

が自明でない解を持つということである。これは、下記の記事の定理7.2より、 $\Phi_A(\alpha)=0$ が成り立つことである。

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(2) $\mathbb{R}$ 上の線形空間の線型変換を $T$ とすると、任意の基底に関する $T$ の行列を $A$ とすれば、 $A$ は実数値を成分とする行列であり、実数 $\alpha$ が $T$ の固有値であるということは、実係数の斉次一次方程式 $(\alpha E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ が自明でない実数解を持つということである。　よって、 ${\rm{det}}(\alpha E-A)=0$ であり、 $\alpha$ は実特性根である。逆に、 $\alpha$ が実特性根であるとする。このとき、 ${\rm{det}}(\alpha E-A)=0$ で、 $(\alpha E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ が自明な解を持つことと同値である。ここで、下記の記事の証明から、一次方程式系の係数がすべて実数ならば、解の状態は、複素ベクトルで考えても、実ベクトルだけで考えても変わらない。

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即ち、実ベクトルの範囲で解がなければ、複素ベクトルまで考えても解はない。また、解を持つ場合の任意定数の個数も複素ベクトルで考えても実数ベクトルで考えても変わらない。従って、任意定数を時数だけに限れば、すべての実数解が得られる。従って、 $(\alpha E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ の自明でない解は、すべての自明でない実数解である。

よって、 $(\alpha E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ が自明でない実数解をもつことと、 $\alpha$ が実特性根であることは同値である。従って、 $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間の線型変換の固有値は、 $T$ の実特性根と一致する。

4. 対角化可能性
行列の対角化が可能な条件を述べた次の定理が得られる。
定理4.1
行列 $A$ が対角行列に掃除である( $P^{-1}AP$ が対角行列になるような正則行列 $P$ が存在する)ためには、 $A$ の各特性根 $\alpha$ に対する固有空間の次元が $\alpha$ の重複度(固有多項式で、 $\alpha$ が何重解であるか)に一致することが必要かつ十分な条件である。
証明： $A$ が対角行列に相似であると仮定する。即ち $\Lambda=P^{-1}AP$ となる正則行列 $P$ と対角行列 $\Lambda$ が存在する。 $A$ の固有値 $\alpha$ に対する固有空間を $W_\alpha$ とすると、

$\begin{split} W_\alpha&=\{\boldsymbol{x}\in V:A\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x} \} \\ &=\{\boldsymbol{x}\in V:(\alpha E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\} \\ &={\rm{Ker}}(\alpha E-A) \end{split}$

より、

$\begin{split} {\rm{dim}}W_\alpha &={\rm{divKer}}(\alpha E-A) \\ &=n-{\rm{rank}}(\alpha E-A) \\ &=n-{\rm{rank}}(\alpha E-P^{-1}AP) \\ &=n-{\rm{rank}}(\alpha E-\Lambda) \end{split}$

である、。ここで、2行目の等式に関して下記の記事の定理2.1を使った。

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$\Lambda$ の対角成分は $A$ の固有値に等しく、 $\alpha$ が $m$ 個あったとすると( $\alpha$ の重複度が $m$ )、

${\rm{rank}}(\alpha E-\Lambda)=n-m$

このとき

${\rm{dim}}W_\alpha = n-n+m=m$

逆に、固有値 $\alpha$ の固有空間の次元が、固有値 $\alpha$ の重複度に等しいとする。まず次の主張を証明する。
「固有値の異なる固有空間の次元の総和が、ベクトル空間 $V$ の次元 $n$ に等しい」
固有方程式

${\rm{det}}(\alpha E-A)=0$

は、代数学の基本定理により、必ず $n$ 個の複素数解

$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$

を持つ。この中に値の異なる解が $r$ 種類だけあるとし、それらを

$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$

と表す。 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ の中に $\alpha_j$ が $m_j$ 個( $j=1,\dots,r$ )含まれていたとする。このとき

$\displaystyle\sum_{j=1}^r m_j = n$

である。 $m_j$ は解 $\alpha_j$ の重複度であるから、仮定より

${\rm{dim}}W_{\alpha_j}=m_j$

である。従って、

$\displaystyle\sum_{j=1}^n {\rm{dim}}W_{\alpha_j}=\displaystyle\sum_{j=1}^r m_j = n$

となる。従って、固有値の異なる固有空間の次元の総和がベクトル空間 $V$ の次元 $n$ に等しい。

次に $A$ が対角行列に相似であることを証明する。異なる固有値の各固有空間から、基底に対応するベクトル

$p_1^j,p_2^j,\dots,p_{m_j}^j$

をとる。このとき、上で証明したことから、集合

$\displaystyle\cup_{j=1}^r \{ p_1^j,p_2^j,\dots,p_{m_j}^j \} \tag{5}$

の元の個数は $n$ である。定理2.1より、異なる固有値に対応する固有ベクトルは線型独立なので、式(5)の中のすべてのベクトルは線型独立である。式(5)の集合の元を並び替えることで、

$\displaystyle\cup_{j=1}^r \{ p_1^j,p_2^j,\dots,p_{m_j}^j \}=\{\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\dots,\boldsymbol{p}_n\}$

と表すことにする。[\boldsymbol{p}_j]は線型独立であり、 $A$ の固有ベクトルであるから、

$A\boldsymbol{p}_i=\mu_i\boldsymbol{p}_i \ \ (i=1,\dots,n)$

である。ここで、 $\mu_i$ は $A$ の固有値 $\lambda_1,\lambda_2,\dots.\lambda_n$ のいずれかである。

$P= \begin{pmatrix} \boldsymbol{p_1} & \boldsymbol{p_2} & \dots & \boldsymbol{p_n} \end{pmatrix}$

と定義すると、

$\begin{split} AP&= \begin{pmatrix} A\boldsymbol{p_1} & A\boldsymbol{p_2} & \dots & A\boldsymbol{p_n} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \mu_1\boldsymbol{p_1} & \mu_2\boldsymbol{p_2} & \dots & \mu_n\boldsymbol{p_n} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{p_1} & \boldsymbol{p_2} & \dots & \boldsymbol{p_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_1 & & & \Huge{0} \\ & \mu_2 & & \\ &&\ddots& \\ \Huge{0} & & & \mu_n \end{pmatrix} \\ &=P\Lambda \end{split}$