【線形代数学入門】部分空間と直和

1. 記事の目的
以下の記事で、部分空間と次元に関して述べた。一般に部分空間の和空間の次元は、和に分ける前の部分空間の次元の和に一致するとは限らない。このとき一致する場合の部分空間の分け方を、部分空間の直和という。本記事では部分空間の直和の定義と同値条件に関して述べる。

camelsan.hatenablog.com

部分空間の定義については、以下を参照。

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2. 部分空間の直和の定義
定義2.1
$V$ をベクトル空間とし、 $W_1, W_2$ を $V$ の部分空間とする。 $V=W_1+W_2$ であり、 $V$ のベクトルを、 $W_1, W_2$ のベクトルの和として表す方法が一意的であるとき、 $V$ は $W_1$ と $W_2$ の直和であるといい、これを

$V=W_1\oplus W_2$

と表す。

例2.2

$\mathbb{R}^2=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} : x,y\in\mathbb{R} \right\}$

とし、

$W_1=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} : x\in\mathbb{R} \right\}, W_2=\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix} : y\in\mathbb{R} \right\}$

とする。このとき $x,y\in\mathbb{R}$ に対して、

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}$

より、 $\mathbb{R}^2=W_1+ W_2$ である。
任意の $(x,y)^{T}\in\mathbb{R}^2$ が、 $\boldsymbol{x}_1=(x_1, 0)^{T}, \boldsymbol{x}_2=(x_2, 0)^{T}\in W_1, \boldsymbol{y}_1=(0, y_1)^{T}, \boldsymbol{y}_2=(0, y_2)^{T}\in W_2$ を用いて、２通りの方法で、

$\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{y}_1=\boldsymbol{x}_2+\boldsymbol{y}_2$

と表されたとする。このとき

$\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{y}_2-\boldsymbol{y}_1$

成分表示すると、

$\begin{pmatrix}x_1-x_2 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ y_1-y_2 \end{pmatrix}$

よって、 $\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_1=\boldsymbol{y}_2$ より、任意の $\mathbb{R}^2$ の元を $W_1, W_2$ の元の和として表す方法は１通りである。従って、

$\mathbb{R}^2=W_1\oplus W_2$

図形的には、２次元平面を縦軸と横軸がなす部分空間に分解したことになる(図１参照)。

f:id:camelsan:20210810170217p:plain — 図１部分空間の直和

3. 部分空間の直和の同値条件
部分空間の直和に関して、次の同値条件が成り立つ。
定理3.1
ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W_1,W_2$ に対し、 $V=W_1+W_2$ であるとき、次の３条件は同値である。
(1) $V=W_1\oplus W_2$
(2) $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{0}\}$
(3) ${\rm{dim}}V={\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}W_2$
証明：(2)が成り立つと仮定すると、下記の記事の定理3.1より ${\rm{dim}}V={\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}W_2$ である。よって(3)が成り立つ。また、(2)を仮定すると、再び同じ定理3.1より、 ${\rm{dim}}W_1\cap W_2=0$ である。 $\{\boldsymbol{0}\}\subset W_1\cap W_2$ かつ ${\rm{dim}}\{\boldsymbol{0}\}=0$ であるから、下記の記事定理2.2(2)より $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{0}\}$ である。よって、(2)が成り立つ。従って(2)と(3)は同値である。

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後は、(1)と(2)の同値性を示せばよい。 $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{0}\}$ とする。 $V$ の元 $\boldsymbol{x}$ が２通りに、

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_1^{\prime}+\boldsymbol{x}_2^{\prime}, \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_1^{\prime}\in W_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_2^{\prime}\in W_2$

と表されれば、

$\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_2^{\prime}-\boldsymbol{x}_2$

が成り立ち、左辺は $W_1$ 、右辺は $W_2$ の元であるから、ともに $W_1\cap W_2$ の元、すなわち $\{\boldsymbol{0}\}$ である。よって、 $\boldsymbol{x}$ を $W_1$ と $W_2$ の元の和として表す方法は１通りであり、 $V$ は $W_1$ と $W_2$ の直和である。 $W_1\cap W_2$ に $\boldsymbol{0}$ でない元 $\boldsymbol{a}$ があったとすると、

$\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})$

は $\boldsymbol{0}$ の２通りの分解を与えるので、 $V$ は $W_1$ と $W_2$ の直和ではない。よって、(1)と(2)の同値性が成り立つ。

4. ２つ以上の部分空間による直和
ベクトル空間を２つの部分空間の直和に分けたが、これは $k (k\ge 1)$ 個に拡張することができる。すなわち、次のように述べられる。

定義4.1
ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W_1,\dots,W_k$ があり、 $V$ の任意の元が $W_1,\dots,W_k$ の元の和として表されるとき、 $V$ を $W_1,\dots,W_k$ の和空間といい、

$V=W_1+W_2+\dots+W_k$

と書く。特に

$V=W_1\oplus W_2\oplus \dots\oplus W_k$

このとき、次の同値条件が成り立つ。
定理4.2
$V=W_1+W_2+\dots+W_k$ であるとき、次の３条件は同値である。
(1) $V=W_1\oplus W_2\oplus \dots\oplus W_k$
(2) $W_i\cap (W_1+\dots+W_{i-1}+\dots+W_k)=\{\boldsymbol{0}\} (i=1,2,\dots,k)$
(3) ${\rm{dim}}V={\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}W_2+\dots+{\rm{dim}}W_k$
証明： $k$ に関する数学的帰納法によって証明する。 $k=2$ ならば定理3.1により定理が成り立つ。 $k > 2$ とし、 $k-1$ のときは成り立つと仮定する。

$U_i=W_1+\dots+W_{i-1}+W_{i+1}+\dots+W_k (i=1,2,\dots,k)$

とおく。(1) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1)を証明する。
(1) $\Rightarrow$ (3) 仮定より、

$\begin{split} V&=W_1\oplus U_1 \\ U_1&=W_2\oplus W_3\oplus \dots \oplus W_k \end{split}$

が成り立つので、数学的帰納法の仮定より

$\begin{split} {\rm{dim}}V&={\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}U_1 \\ &={\rm{dim}}W_1+\displaystyle\sum_{i=2}^{k}{\rm{dim}}W_i \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\rm{dim}}W_i \end{split}$

(3) $\Rightarrow$ (2) $V=U_i+V_i$ であるから、

${\rm{dim}}U_i \ge {\rm{dim}}V - {\rm{dim}}W_i = \displaystyle\sum_{j\neq i}{\rm{dim}}W_j$

一方 ${\rm{dim}}U_i \ge \displaystyle\sum_{j\neq i}{\rm{dim}}W_j$ であるから

${\rm{dim}}U_i = \displaystyle\sum_{j\neq i}{\rm{dim}}W_j$

よって、(3)の仮定から、

$\begin{split} {\rm{dim}}V &= {\rm{dim}}W_i + \displaystyle\sum_{j\neq i}{\rm{dim}}W_j \\ &={\rm{dim}}W_i+{\rm{dim}}U_i \end{split}$

定理3.1より

$W_i\cap U_i=\{\boldsymbol{0}\}$

となる。
(2) $\rightarrow$ (1) $V$ の元 $\boldsymbol{x}$ が２通りに、

$\boldsymbol{x}=\displaystyle\sum_{j=1}^k\boldsymbol{x}_j=\displaystyle\sum_{j=1}^k\boldsymbol{x}_j^{\prime}, \boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_j^{\prime}\in W_j (j=1,2,\dots,k)$

と表されれば、任意の $i (i=1,2,\dots, k)$ に対して、

$\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_i^{\prime}=\displaystyle\sum_{j\neq i}(\boldsymbol{x}_j^{\prime}-\boldsymbol{x}_j)$

が成り立ち、左辺は $W_i$ の元、右辺は $U_i$ の元であるから、ともに $W_i\cap U_i$ の元、即ち $\boldsymbol{0}$ である。 $i$ は任意であるから $\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_i^{\prime} (i=1,\dots,k)$ より、和の表し方は１通りである。よって、 $V$ は $W_1,W_2,\dots,W_k$ の直和である。