【線形代数学入門】部分空間と次元

1. 記事の目的
以下の記事で、部分空間の定義について述べた。本記事では、部分空間の次元(ベクトル空間としての次元)で成り立つ定理を証明する。

camelsan.hatenablog.com

2. 線形写像による部分空間の次元
定理2.1
$V, V^{\prime}$ を部分空間、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像、 $\boldsymbol{0}^{\prime}$ を $V^{\prime}$ の零元とする。このとき、

${\rm{dim}}V={\rm{dim}}T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})+{\rm{dim}}T(V)$

が成り立つ。証明： $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_s$ を拡大して、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ を得たとする。このとき $T(\boldsymbol{e}_{s+1}),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ が $T(V)$ の基底となることを示せば、

$\begin{split} &{\rm{dim}}V=n \\ &{\rm{dim}}T^{\prime}(\boldsymbol{0}^{\prime})=s \\ &{\rm{dim}}T(V)=n-s \end{split}$

となり、定理が証明される。

$T(V)$ の任意の元 $\boldsymbol{x}^{\prime}$ に対し、 $\boldsymbol{x}^{\prime}=T(\boldsymbol{x})$ となる $V$ の元 $\boldsymbol{x}$ が存在する。

$\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{e}_1+\dots+c_s\boldsymbol{e}_s+c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n$

とすると、 $T(\boldsymbol{e}_i)=0 (i=1,2,\dots,s)$ であるから、

$\boldsymbol{x}^{\prime}=T(\boldsymbol{x})=c_{s+1}T(\boldsymbol{e}_{s+1})+\dots+c_nT(\boldsymbol{e}_n)$

よって、 $T(V)$ の任意の元は $T(\boldsymbol{e}_{s+1}),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ の線形結合として表すことができる。

$T(\boldsymbol{e}_{s+1}),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ の線形独立性を示す。

$c_{s+1}T(\boldsymbol{e}_{s+1})+\dots+c_nT(\boldsymbol{e}_n)=\boldsymbol{0}^{\prime}$

とする。このとき、上式の左辺を線形写像の線形性を用いて書き換えることで、

$T(c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n)=c_{s+1}T(\boldsymbol{e}_{s+1})+\dots+c_nT(\boldsymbol{e}_n)=\boldsymbol{0}^{\prime}$

従って、

$c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$

$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_s$ が $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の基底であることから、

$c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n=c_1\boldsymbol{e}_1+\dots+c_s\boldsymbol{e}_s$

移項して

$c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n-c_1\boldsymbol{e}_1-\dots-c_s\boldsymbol{e}_s=0$

$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ の線形独立性から、

$c_1=\dots =c_s=c_{s+1}=\dots =c_n=0$

特に、

$c_{s+1}=\dots =c_n=0$

が成り立つので、 $T(\boldsymbol{e}_{s+1}),T(\boldsymbol{e}_2),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ は線形独立である。よって、 $T(\boldsymbol{e}_{s+1}),T(\boldsymbol{e}_2),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ は $T(V)$ の基底である。

部分空間の包含と次元に関して次の定理が成り立つ。
定理2.2
$W_1,W_2$ が $V$ の部分空間であるとき
(1) $W_1\subset W_2$ ならば、 ${\rm{dim}}W_1\le {\rm{dim}}W_2$
(2) $W_1\subset W_2$ 、 ${\rm{dim}}W_1= {\rm{dim}}W_2$ ならば $W_1=W_2$
証明：
(1) $W_1$ の基底に、 $s$ 個のベクトル( $s\le 0$ )を付加することで、 $W_2$ の基底とすることができる。よって、

${\rm{dim}}W_2={\rm{dim}}W_1+s \ge {\rm{dim}}W_1$

(2) ${\rm{dim}}W_1={\rm{dim}}W_2$ より、(1)の証明の第１行で $s=0$ となるので、 $W_1$ と $W_2$ の基底として同一のものをとることができる。よって $W_1=W_2$ 。(任意の元 $\boldsymbol{x}\in W_2$ をとると、 $W_1$ と同一の基底の線形結合として表すことができるので、 $\boldsymbol{x}\in W_1$ である。よって $W_2\subset W_1$ 。従って、 $W_1\subset W_2$ と合わせて得られる。)

3. 部分空間の和空間の次元
一般に、部分空間の和空間の次元は、それぞれの部分空間の次元の和とは一致しない。共通部分を考慮することで、実際には次が成り立つ。
定理3.1
$W_1, W_2$ が $V$ の部分空間であるとき、

${\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}W_2={\rm{dim}}(W_1+W_2)+{\rm{dim}}(W_1\cap W_2)$

証明： ${\rm{dim}}W_1\cap W_2=r$ とおくと、 $W_1\cap W_2\subset W_1$ 、 $W_1\cap W_2\subset W_2$ より、いくつかのベクトルを付け加えることで、 ${\rm{dim}}W_1=r+s$ 、 ${\rm{W_2}}=r+t$ とおく。このとき、 ${\rm{dim}}=r+s+t$ を証明すればよい。
$W_1\cap W_2$ の基底を $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r$ として、これにいくつかのベクトルを付け加えることで、 $W_1$ の基底 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s$ 、および、 $W_2$ の基底 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ を得たとする。このとき、 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s ,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ が $W_1+W_2$ の基底になることを証明する。
$W_1+W_2$ の任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ は、 $\boldsymbol{x}_1\in W_1, \boldsymbol{x}_2\in W_2$ の和として、 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2$ と書くことができる。よって、 $\boldsymbol{x}$ は $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s ,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ の線形結合として表される。
次に、 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s ,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ の線形独立性を証明する。次の線形関係があったとする。

$\displaystyle\sum_{i=1}^{r}a_i\boldsymbol{a}_i+\displaystyle\sum_{j=1}^{s}b_j\boldsymbol{b}_j+\displaystyle\sum_{k=1}^{t}c_k\boldsymbol{c}_k=\boldsymbol{0}\tag{1}$

があるとする。式(1)の第３項を移項して、

$\displaystyle\sum_{i=1}^{r}a_i\boldsymbol{a}_i+\displaystyle\sum_{j=1}^{s}b_j\boldsymbol{b}_j=-\displaystyle\sum_{k=1}^{t}c_k\boldsymbol{c}_k\tag{2}$

を得る。式(2)の左辺は $W_1$ の元、右辺は $W_2$ の元であるから、左辺と右辺はともに $W_1\cap W_2$ の元である。よって、

$-\displaystyle\sum_{k=1}^{t}c_k\boldsymbol{c}_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{r}a^{\prime}_i\boldsymbol{a}_i$

$\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ の線形独立性により、

$a_1^{\prime}=a_2^{\prime}=\dots=a_r^{\prime}=0, c_1=c_2=\dots=c_t=0\tag{3}$

式(3)を式(2)に代入して、

$\displaystyle\sum_{i=1}^{r}a_i\boldsymbol{a}_i+\displaystyle\sum_{j=1}^{s}b_j\boldsymbol{b}_j=\boldsymbol{0}$

$\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s$ の線形独立性により、

$a_1=a_2=\dots=a_r=0, b_1=b_2=\dots=b_s=0$

従って、式(1)は自明な線形関係であり、 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s ,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ は線形独立である。

4. 参考文献
[1] 線型代数入門

線型代数入門（基礎数学） [ 斎藤正彦 ]

価格:2,090円
(2021/12/6 21:07時点)
感想(2件)

ベイジアン研究所

技術(人工知能、数学等)と心理の話をしています。

【線形代数学入門】部分空間と次元