【集合位相入門】写像 - ベイジアン研究所

1. 記事の目的
次の記事で集合について定義と演算について述べた。ここでは、集合間の対応関係を規定する、写像について述べる。

camelsan.hatenablog.com

2. はじめに
「写像」という言葉は幸いにも、２ちゃんねるの創設者である、ひろゆき氏により、「写像おばさん」などの言葉で広く知れ渡っている。しかし、実の所、その意味までわかっている方は少ないのではないのだろうか。「写像おばさん」の愛称で知られる勝間和代氏は、無説明で写像という言葉を使用し(インターネットの世界は現実世界に対応しているということを伝えたかったのであろう、とはなんとなく感じた)、ひろゆき氏に写像の意味を尋ねられたときに「だめだこりゃ・・・」と返しているあたりで、本人もその意味をよくわかっていないのであろうと思う(実の所、数学で博士の学位を取得し、国際誌に単著で論文を掲載した筆者にも写像とは何か、本当の意味は全く理解できていないように感じる)。ここではなるべく身近な例を使用して、写像とはん何なのかを解説してみようと思う(これは大変に挑戦的なことである)。
追記：後日談で、ひろゆき氏は「シャゾウ」という音声だけを急に聞いて、よくわからなかったと答えている。

3. 写像とは
今部屋に、三角と、四角と、丸の積み木が散らばっているとする。また、「三角」、「四角」、「丸」と書かれた箱も置かれているとする(図１参照)。

f:id:camelsan:20210328144817p:plain — 図１部屋の中の様子

このとき、「三角、と書かれた箱には三角の積み木を、四角、と書かれた四角の積み木を、丸、と書かれた箱には丸の積み木を入れよ」という命令をされたとする(片付けをしなさいとか)。このとき片付けた結果は図２のようになる。

f:id:camelsan:20210328145513p:plain — 図２片付けた結果

このように、三角の積み木は三角の箱に入れるなど、二つのものの集まりの間の対応関係(積み木と箱を対応させている)を、写像とよぶ。

二つの集合「積み木の集合」、「箱の集合」に対して、三角の積み木は三角と書かれた箱へ、四角の積み木は四角と書かれた箱へ、丸の積み木は丸と書かれた箱へ、という対応関係の写像が定義されたことになる(図３参照)。

f:id:camelsan:20210328150814p:plain — 図３積み木と箱の写像

積み木の例を、集合や元などの言葉で抽象化したものが写像の定義となる。

4. 写像の定義
$A,B$ を集合とする。 $A$ の各元に対し、 $B$ の一つの元を対応させる規則を、集合 $A$ から集合 $B$ への写像という。 $A$ から $B$ への写像を記号で $T$ と表すことにし、 $A$ の元 $a$ をBの元 $b$ へ移したとすると、

$T:A\rightarrow B;a\mapsto b$

と書く。このとき、 $A$ を $T$ の定義域、 $B$ を $T$ の値域という。写像 $T$ で $A$ の元を全て写したとする。このとき、 $A$ の全ての元が $B$ に写った元の集合を、 $A$ の写像 $T$ による像といい、 $T(A)$ と書く。すなわち

$T(A) = \{T(x)\subset B:x\in A \}$

である(図4参照)。

f:id:camelsan:20210620163541p:plain — 図4 写像の像

5.写像の逆像

$T:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: x\mapsto x$

とする。つまり、実数をそのまま同じ実数に写す写像を考える。 $1\in\mathbb{R}$ に対して、 $T(x)=1$ となる $x$ は $1$ である。一方

$T:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto x^{2}$

とすると、 $T(x)=1$ となる $x$ は、 $1$ と $-1$ である。また、 $T(x)=-1$ となる実数 $x$ は存在しない。値域のひとつの元に対して、そこに写ってくる定義域の元は1つとは限らない。値域の $1\in\mathbb{R}$ に対し、 $T(x)=x^{2}$ で写ることのできる集合

$\{1,-1\}$

を $1$ の $T$ に関する逆像といい、 $T^{-1}(1)$ と書く。即ち、

$T^{-1}(1)=\{1,-1\}$

一般に、集合 $A,B$ に対して、写像

$T:A\rightarrow B$

があったとき、 $b\in B$ に対し、

$T^{-1}(b)=\{a\in A:T(a)=b\}$

と定義し、 $b\in B$ の $T$ に関する逆像という。 $b\in B$ に写ってくる $A$ の部分集合である(図5参照)。

f:id:camelsan:20210620170316p:plain — 図5 逆像

6.写像の相等と合成写像
2つの写像が同じであるという定義を述べる。集合 $A,B$ の二つの写像

$S:A\rightarrow B$

$T:A\rightarrow B$

に対し、すべての $x\in A$ で、

$S(x)=T(x)$

であるとき、 $S$ と $T$ は等しいといい、

$S=T$

とかく。
続いて、写像の合成に関して述べる。写像の合成とは、２つの写像を続けざまに適用することである。正確に述べると次のようになる。集合 $A,B,C$ に対し、写像

$S:B\rightarrow C$

$T:A\rightarrow B$

を考える。 $S$ と $T$ の合成写像を、 $x\in A$ に対し、

$S(T(x))$

に写す写像と定義し、 $S\circ T$ とかく。合成写像が定義できるには、 $T$ の像が $S$ の定義域に含まれている必要がある(図6参照)。

f:id:camelsan:20210620172701p:plain — 図6 合成写像

以下で、特殊な写像で、重要なものを説明する。

7.単射
集合 $A,B$ 間の写像 $T$ に対して異なる $A$ の２元[tex;a_1, a_2]で必ず $B$ のことなる2元に写るとき、写像 $T$ は、単射であるという(図7参照)。

f:id:camelsan:20210620173745p:plain — 図7 単射

例：

$T:\{1,2,3\}\rightarrow \{1,2,3\}$

に対し、

$T(1)=2$

$T(2)=1$

$T(3)=3$

とすると、定義域内の異なる２元に対し、値域内の異なる２元に写すので、単射である。
一方、

$S:\{1,2,3\}\rightarrow \{1,2,3\}$

に対して、

$S(1)=1$

$S(2)=1$

$S(3)=2$

とすると、定義域内で $1\neq 2$ だが、 $S(1)=S(2)=1$ となるので、 $S$ は単射ではない。

8. 全射
$T$ を集合 $A,B$ 間の写像とする。 $A$ の元をすべて $T$ で写すと、 $B$ の元すべてに写るとは限らない。例えば、

[tex;\{1,2,3\}\rightarrrow \{1,2,3\}]

に対して、

$T(1)=1$

$T(2)=1$

$T(3)=3$

とすると、

$T(\{1,2,3\})=\{1,3\}\subset \{1,2,3\}$

であり、値域の $2$ に写る定義域の元は存在しない。
そこで、 $B$ のどの元にも、 $A$ から写ってくる元が存在するとき、写像 $T$ は全射であるという。記号で、 $T(A)=B$ のとき、全射である(図8参照)。

f:id:camelsan:20210620175903p:plain — 図8 全射

例：

$T:\{1,2,3\}\rightarrow \{1,2,3\}$

に対して、

$T(1)=3$

$T(2)=1$

$T(3)=2$

とすると、

$T(\{1,2,3\})=\{1,2,3\}$

より、全射である。

9. 全単射写像
全射かつ単射な写像を、全単射写像、もしくは、一対一対応という。
全単射写像 $T:A\rightarrow B$ は、 $A$ の一つの元に対して丁度１つの $T$ によって写される $B$ の元が存在する。このとき逆に $B$ の元の１つから $A$ の一つの元を対応させる規則がある。これを $T$ の逆写像と呼び、 $T^{-1}$ とかく。
例：