【線形代数学入門】部分空間の定義

1. 記事の目的
以下の記事でベクトル空間について述べた。ベクトル空間の部分集合で、同じ演算に関して再びベクトル空間になるような集合を、そのベクトル空間の部分空間という。本記事では部分空間の定義について述べる。

camelsan.hatenablog.com

2. 部分空間の定義
早速、部分空間を定義する。

定義
$V$ を $\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )上のベクトル空間とし、 $W \neq \emptyset$ を $V$ の部分集合とする。 $W$ が次の２条件を満たすとき、 $W$ を $V$ の部分集合という。
(1) $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W$ ならば、 $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W$
(2) $\boldsymbol{x}$ , $\alpha\in\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )ならば、 $\alpha\boldsymbol{x}\in W$
即ち、 $W$ が $V$ の部分集合で、 $V$ と同じ演算に関してベクトル空間になるような集合を部分空間という。

$\{\boldsymbol{0}\}$ oおよび $V$ は $V$ の部分空間であり、これ以外の部分空間を、真の部分空間という。

例2.1

$\mathbb{R}^2=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} : x, y \in \mathbb{R}\right\}$

において、

$W=\left\{\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} : x \in \mathbb{R}\right\}$

は、 $\mathbb{R}^2$ の部分集合である。実際、

$\begin{pmatrix}x_1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ 0 \end{pmatrix}$

に対し、

$\begin{pmatrix}x_1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y_1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ 0 \end{pmatrix}\in W$

また、

$\alpha\in\mathbb{R}, \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}\in W$

に対し、

$\alpha \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha x \\ 0 \end{pmatrix} \in W$

より、 $W$ は $\mathbb{R}^2$ の部分空間である。 $W$ は図形的には、２次元平面の中の、直線に対応する(図１参照)。

f:id:camelsan:20210808210104p:plain — 図１部分空間の例

3. 部分空間の生成
"いくつかの部分空間"や"ベクトル"、"写像"から別の部分空間を生成することが出来る。
以下で、 $V$ は $\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )上のベクトル空間とする。

まず、いくつかの部分空間から別の部分空間を作る方法について述べる。

定理3.1
$W_1$ と $W_2$ が $V$ の部分空間ならば、それらの共通部分 $W_1\cap W_2$ も $V$ の部分空間である。
証明：
(1)

$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in W_1\cap W_2$

とすると、 $W_1$ と $W_2$ は各々部分空間なので、

$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\in W_1, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\in W_2$

よって、

$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\in W_1\cap W_2$

また、 $\alpha\in\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{x}\in W_1\cap W_2$ とすると

$\alpha \boldsymbol{x}\in W_1, \alpha \boldsymbol{x}\in W_2$

よって、

$\alpha \boldsymbol{x}\in W_1\cap W_2$

従って、 $W_1\cap W_2$ は部分空間である。

定理3.2
$W_1, W_2$ が $V$ の部分空間であるとき、 $W_1$ の元と $W_2$ の元との和として表されるベクトルの全体、

$\{ \boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2 : x_1\in W_1, x_2\in W_2 \}$

は $V$ の部分空間である。
証明：

$W_1+W_2 = \{ \boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2 : x_1\in W_1, x_2\in W_2 \}$

と表すことにする。
(1) $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2\in W$ とする。 $W_1$ と $W_2$ が $V$ の部分空間であることにより、

$(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)+(\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2)=(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x}_2+\boldsymbol{y}_2)\in W_1+W_2$

(2) $\alpha\in \mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2\in W$ とする。 $W_1$ と $W_2$ が $V$ の部分空間であることにより、

$\alpha(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)=\alpha\boldsymbol{x}_1+\alpha\boldsymbol{y}_1 \in W_1+W_2$

以上より、 $W_1+W_2$ は $V$ の部分空間である。

定理3.2における、 $W_1+W_2$ を $W_1$ と $W_2$ との和空間という。

ベクトル空間 $V$ のいくつかの元から生成される部分空間について述べる。
定理3.3
$V$ の空でない部分集合 $S$ に対して、 $S$ のいくつかの元の線形結合の全体

$\{ c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k : kは自然数, c_i\in \mathbb{R} (または\mathbb{C}), \boldsymbol{x}_i\in S (i=1,\dots, k) \}$

は $V$ の部分空間である。
証明：

$\begin{split} &\langle S \rangle \\ &= \{ c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k : kは自然数, c_i\in \mathbb{R} (または\mathbb{C}), \boldsymbol{x}_i\in S (i=1,\dots, k) \} \end{split}$

と表すことにする。
(1) $c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k, d_1\boldsymbol{y}_1+d_2\boldsymbol{y}_2+\dots+d_k\boldsymbol{y}_s \in \langle S \rangle$ をとると、 $\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{y}_i \in S$ より、

$c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k+d_1\boldsymbol{y}_1+d_2\boldsymbol{y}_2+\dots+d_k\boldsymbol{y}_s \in \langle S \rangle$

(2) $\alpha \in \mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k \in \langle S \rangle$ とすると

$\begin{split} &\alpha (c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k) \\ &=(\alpha c_1) \boldsymbol{x}_1+(\alpha c_2) \boldsymbol{x}_2+\dots+(\alpha c_k) \boldsymbol{x}_k \in \langle S \rangle \end{split}$

よって、 $\langle S \rangle$ は $V$ の部分空間である。

$\langle S \rangle$ を、 $S$ から生成される部分空間という。

線形写像から得られる部分空間について述べる。
定理3.4
$V, V^{\prime}$ を線形空間、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像とする。このとき、 $V$ による $T$ の像 $T(V)$ は $V^{\prime}$ の部分空間である。また、 $V^{\prime}$ の零ベクトル $\boldsymbol{0}^{\prime}$ の $T$ による逆像

$T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})=\{ \boldsymbol{x}\in V : T(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}^{\prime} \}$

は $V$ の部分空間である。
証明： $T(V)$ が部分空間であることを証明する。
(1) $\boldsymbol{y}_1, \boldsymbol{y}_2 \in T(V)$ とする。このとき、ある $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2 \in V$ があって

$\boldsymbol{y}_1=T(\boldsymbol{x}_1), \boldsymbol{y}_2=T(\boldsymbol{x}_2)$

と表すことができる。このとき、 $T$ が線形写像であることと、 $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2\in V$ より

$\begin{split} \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2 &= T(\boldsymbol{x}_1)+T(\boldsymbol{x}_2) \\ &=T(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2) \in T(V) \end{split}$

(2) $\alpha \in \mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{y}\in T(V)$ とする。このとき、ある $\boldsymbol{x}\in V$ があって、 $\boldsymbol{y}=T(\boldsymbol{x})$ より、

$\alpha\boldsymbol{y}=\alpha T(\boldsymbol{x})=T(\alpha\boldsymbol{x})\in T(V)$

以上より、 $T(V)$ は部分空間である。

$T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ が部分空間であることを証明する。
(1) $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ とする。ここで、逆像の定義より、 $T(\boldsymbol{x}_1)=T(\boldsymbol{x}_2)=\boldsymbol{0}^{\prime}$ である。このとき

$T(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)=T(\boldsymbol{x}_1)+T(\boldsymbol{x}_2)=\boldsymbol{0}^{\prime}+\boldsymbol{0}^{\prime}=\boldsymbol{0}^{\prime}$

より、

$\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2 \in T^{\prime}(\boldsymbol{0}^{\prime})$

(2) $\alpha \in \mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{x} \in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ とする。ここで、 $T(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}^{\prime}$ である。このとき