【線形代数学入門】基底と行列

1. 記事の目的
以下の記事で、基底の定義と基底を使った次元の定義について述べた。本記事では、基底の変換行列およびベクトル空間の間の線形写像の、行列による表現について述べる。

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本記事では、常に $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ を表すものとする。

2. 基底の変換行列
$V$ を $K$ 上のベクトル空間とする。 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ と $\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n$ を $V$ の２つの基底とする。これら２つの基底が定める $V$ から $K^n$ への同型写像を $\varphi, \psi$ とする。即ち任意の $V$ の元を、 $\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n=y_1\boldsymbol{f}_1+\dots+y_n\boldsymbol{f}_n$ と表したとき、

$\begin{split} &\varphi : V \rightarrow K^n ; \boldsymbol{x} \mapsto \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ &\psi : V \rightarrow K^n ; \boldsymbol{x} \mapsto \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ \end{split}$

である。

このとき、 $\varphi\circ\psi^{-1}$ は、 $K^n$ から $K^n$ への同型写像であるから、以下の記事の4節の定理から、 $n$ 次正方行列 $P=(p_{ij})$ によって定まる $K^n$ の線型変換 $T_P$ に等しい。

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このとき、 $K^n$ の元 $(y_1\dots,y_n)^T$ に対し、

$\varphi\circ\psi^{-1}\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\right)=T_P\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\right)=P\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\right)$

である。

$\begin{split} 左辺&=\varphi (y_1\boldsymbol{f}_1+\dots+y_n\boldsymbol{f}_n) \\ &=\varphi (x_1\boldsymbol{e}_1+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n) \\ &=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ 右辺&= \begin{pmatrix} p_{11} & \dots & p_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & \dots & p_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix} \end{split}$

である。即ち、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{11} & \dots & p_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & \dots & p_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix} \tag{1}$

が成り立つ。このとき行列 $P$ を基底の取り替え行列という。

$\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n$ を、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ の線型結合として表して、その線形結合の係数を求めてみる。

$\boldsymbol{f}_i=c_{i1}\boldsymbol{e}_1+\dots+c_{in}\boldsymbol{e}_n \ \ (i=1,\dots,n)$

と表す。このとき、 $c_{ij}$ は、式(1)に

$\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{i1} \\ \vdots \\ c_{in} \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_i \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$

を代入することで求めることができる。よって、 $c_{ij}=p_{ji}$ である。よって

$\boldsymbol{f}_i = \displaystyle\sum_{j=1}^np_{ji}\boldsymbol{e}_j \ \ (i=1,2,\dots,n)$

となる。

3. 線形写像の行列による表現
ベクトル空間において、基底を選んで、線形写像を行列で表現することを考える。

ベクトル空間 $V$ の一つの基底 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ を選べば、 $V$ から $K^n$ への同型写像 $\varphi$ が決まるので、基底とその同型写像を合わせて、基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ と言うことにする。

$V, V^{\prime}$ をそれぞれ $K$ 上の $n$ 次元と $m$ 次元の線形空間、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像とする。 $V$ の基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $V^{\prime}$ の基底 $(\boldsymbol{e}^{\prime}_1,\dots,\boldsymbol{e}^{\prime}_n;\varphi^{\prime})$ をとる。このとき $\varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1}$ は $K^n$ から $K^m$ への線形写像なので、ある $(m,n)$ 型行列 $A$ によって、

$\varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1}=T_A \tag{2}$

と書ける。行列 $A$ を基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{e}^{\prime}_1,\dots,\boldsymbol{e}^{\prime}_n;\varphi^{\prime})$ に関する $T$ の行列という。

基底に関する線形写像の行列を具体的に求める方法を述べる。上記で用いた記号の下で述べる。 $V$ の基底を $T$ によって写して、写されたベクトル空間の基底を使って線型結合で表した係数を見ることで求めることができる。

$A=(a_{ij})$ とおく。式(2)より $\varphi^{\prime}\circ T=T_A\circ\varphi$ で、 $T\boldsymbol{e}_j=x_{j1}\boldsymbol{e}_1^{\prime}+x_{j2}\boldsymbol{e}_2^{\prime}+\dots+x_{jm}\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ とおくと、

$\begin{pmatrix} x_{i1} \\ \vdots \\ x_{in} \end{pmatrix} = \varphi^{\prime} (T\boldsymbol{e}_j) = T_A\varphi (\boldsymbol{e}_j)= \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\a_{ij} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$

従って

$T\boldsymbol{e}_j=a_{1j}\boldsymbol{e}_1^{\prime}+a_{2j}\boldsymbol{e}_2^{\prime}+\dots+a_{mj}\boldsymbol{e}_m^{\prime} \ \ (j=1,\dots,m)$

この式により、 $T$ の行列の成分を求めることができる(基底を実際に線形写像で写して、値域のベクトル空間の基底で具体的に線型結合で表して、その係数を行列の成分として並べればよい)。

4. 線形写像の行列による表現と基底の変換
3節において、ベクトル空間の線形写像を行列で表現することを考えた。本節では、ベクトル空間の基底を変えた場合に、その線形写像の行列による表現はどう変わるかを見る。

$V, V^{\prime}$ をそれぞれ $n$ 次元、 $m$ 次元のベクトル空間とする。 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像とする。 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ をそれぞれ $V$ と $V^{\prime}$ の基底とする。 $(\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{f}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{f}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ をそれぞれ $V$ と $V^{\prime}$ のもう一つの基底とする。
基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ に関する $T$ の行列を $A$ 、基底 $(\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{f}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{f}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ に関する $T$ の行列を $B$ とする。即ち

$\begin{split} \varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1}=T_A \\ \psi^{\prime}\circ T\circ \psi^{-1}=T_B \end{split}$

である。 $V$ の基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n;\varphi)$ に関する取り替え行列を $P$ 、 $V^{\prime}$ の基底 $(\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ 、 $(\boldsymbol{f}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{f}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ に関する取り替え行列を $Q$ とすると、

$\varphi\circ\psi^{-1}=T_P, \ \ \varphi^{\prime}\circ{\psi^{\prime}}^{-1}=T_Q$

である。このとき、

$\begin{split} T_B = \psi^{\prime}\circ T\circ \psi^{-1} &= \psi^{\prime}\circ ({\varphi^{\prime}}^{-1}\circ \varphi^{\prime})\circ T\circ (\varphi^{-1}\circ \varphi)\circ \psi^{-1} \\ &= (\psi^{\prime}\circ {\varphi^{\prime}}^{-1})\circ (\varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1})\circ (\varphi \circ \psi^{-1}) \\ &= T_{Q^{-1}}\circ T_A \circ T_P \\ &= T_{Q^{-1}AP} \end{split}$

従って、

$B=Q^{-1}AP\tag{3}$

が得られる。

5. 線形写像と階数
3節の結果から、線形写像を行列によって表現することができた。このことから、線形写像の階数を定義することができる。線形写像の階数の概念は、その表現された行列の階数であることを後々見ていく。行列の階数に関しては、以下の記事を参照。

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$V, V^{\prime}$ をベクトル空間とし、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像とする、 $T(V)$ の基底を、 $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_r^{\prime}$ とする。これを拡大した $V^{\prime}$ の基底を $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ とする。 $\boldsymbol{e}_i^{\prime}\in T(V) \ \ (i=1,\dots,r)$ より、 $T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{e}_i^{\prime} \ \ (i=1,\dots,r)$ となる $V$ の元 $\boldsymbol{e}_i$ がある。このとき、 $\boldsymbol{e}_i^{\prime}$ が線型独立なので、次の記事の定理3.1から、 $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_r^{\prime}$ も線型独立である。

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また、次の記事の定理2.1により、 $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の次元は $n-r$ である。

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よってその基底を $\boldsymbol{e}_{r+1},\dots,\boldsymbol{e}_n$ とする。このとき $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_{r+1},\dots,\boldsymbol{e}_n$ は $V$ の基底となる。実際、 $V$ の任意の元を、 $\boldsymbol{x}$ とする。 $T(\boldsymbol{x})\in T(V)$ より、 $T(V)$ の基底は $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_r^{\prime}$ なので、

$T(\boldsymbol{x})=c_1\boldsymbol{e}_1^{\prime}+\dots+c_r\boldsymbol{e}_r^{\prime}$

と表すことができる。また、 $T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{e}_i^{\prime} \ \ (i=1,\dots,r)$ となるようにとっていたので、

$\begin{split} T(\boldsymbol{x})&=c_1T(\boldsymbol{e}_1)+\dots+c_rT(\boldsymbol{e}_r) \\ &=T(c_1\boldsymbol{e}_1+\dots+c_r\boldsymbol{e}_r) \end{split}$

従って、

$T(\boldsymbol{x}-c_1\boldsymbol{e}_1-\dots-c_r\boldsymbol{e}_r)=\boldsymbol{0}^{\prime}$

より、

$\boldsymbol{x}-c_1\boldsymbol{e}_1-\dots-c_r\boldsymbol{e}_r\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$

で、 $\boldsymbol{e}_{r+1},\dots,\boldsymbol{e}_n$ を $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の基底としてとっていたので、

$\boldsymbol{x}-c_1\boldsymbol{e}_1-\dots-c_r\boldsymbol{e}_r=c_{r+1}\boldsymbol{e}_{r+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n$

とかける。よって、

$\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{e}_1+\dots+c_r\boldsymbol{e}_r+c_{r+1}\boldsymbol{e}_{r+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n$

より $V$ の任意の元は、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ の線型結合で書くことができる。つぎに線型独立性を示す。線形関係

$c_1\boldsymbol{e}_1+c_2\boldsymbol{e}_2+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}\tag{3}$

があったとすると、両辺を $T$ で写すことにより( $T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{e}_i^{\prime} \ \ (i=1,\dots,r)$ 、 $\boldsymbol{e}_j\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime}) \ \ (j=r+1,\dots,n)$ を使う)

$c_1\boldsymbol{e}_1^{\prime}+c_2\boldsymbol{e}_2^{\prime}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n^{\prime}=\boldsymbol{0}^{\prime}$

$\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_r^{\prime}$ は線型独立なので、 $c_1=\dots=c_r=0$ である。式(3)に代入して、

$c_{r+1}\boldsymbol{e}_{r+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}$

となる。 $\boldsymbol{e}_{r+1},\dots,\boldsymbol{e}_n$ も線型独立であることから、 $c_{r+1}=\dots=c_n=0$ である。よって、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ は線型独立である。以上より、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ は $V$ の基底となる。

線形写像 $T$ の、基底 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ と $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ に関する行列 $A$ は、

$\begin{split} T\boldsymbol{e}_j&=\boldsymbol{e}_j^{\prime} \ \ (j=1,\dots,r) \\ T\boldsymbol{e}_i&=\boldsymbol{0}^{\prime} \ \ (i=r+1,\dots,n) \end{split}$

であるから、

$A= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =F_r (m,n)$

である。以上の議論から次の定理が証明された。

定理5.1
ベクトル空間 $V$ から $V^{\prime}$ への任意の線形写像 $T$ に対して、 $V, V^{\prime}$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ と $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ を適切に選べば、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ と $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ に関する $T$ の行列は、標準形

$F_r (m,n)= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

となる。

定理5.1は、線形写像の階数と行列の階数の関係を述べるためにカギとなる。

ここで、線形写像の階数を次のように定義する。

定義5.2
$T$ がベクトル空間 $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像であるとき、像空間 $T(V)$ の次元を $T$ の階数という。

次の定理が成り立つ。

定理5.3
$T$ がベクトル空間 $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像であるとき、 $T$ の階数は、 $V$ と $V^{\prime}$ の任意の基底に関して $T$ を行列で表現したときの、行列の階数に等しい。
証明：定理5.1から $T$ の行列による表現が標準形になる基底が存在する。このとき、定理5.1の中の議論から、像空間の次元と行列の階数は等しい。また、その他の基底の取り方に関しては、4節の式(3)による関係があり、その行列による表現は互いに基本行列で写り合うことができるので、階数は変わらない。従って、任意の基底の取り方について $T$ の像空間の次元と、 $T$ を表現した行列の階数は等しい。

6. 参考文献
[1] 線型代数入門

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感想(2件)

ベイジアン研究所

技術(人工知能、数学等)と心理の話をしています。

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