【線形代数学入門】ベクトル空間の定義

1. 記事の目的
本記事では、ベクトル空間の定義を述べる。ベクトル空間は、行列全体の空間や幾何ベクトルの集合を一般化した集合である。代数的には、和とスカラー倍を有する集合のことである。本記事では集合と写像の知識を仮定している。集合と写像に関しては以下の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

2. ベクトル空間の定義
本節では、ベクトル空間を、幾何ベクトルの一般化として導入する。以下の記事で幾何ベクトルについて述べた。

camelsan.hatenablog.com

幾何ベクトルは、次の２つの操作が可能である。
(以下、幾何ベクトルもベクトルと呼称する。)

①和
②スカラー倍

以下でそれぞれに関して述べる。
①和
２つのベクトル

$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix}, \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

を考える。ベクトルを次の定義で和をとることができる。

$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}= \begin{pmatrix} a_1+a_2 \\ b_1+b_2 \end{pmatrix}$

例：

$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}, \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$

とすると、

$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2+1 \\ 1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix}$

図形的には図 1 のように解釈することができる。

f:id:camelsan:20210625202315p:plain — 図1 ベクトルの和

$\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ がつくる平行四辺形の対角線となる。

①スカラー倍
$c$ を実数とし、

$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix}$

をベクトルとする。このとき $\boldsymbol{a}$ を $c$ 倍することができる(スカラー倍という)。

$c\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}ca_1 \\ ca_2 \end{pmatrix}$

例：
$c=2$

$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$

とすると、

$c\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}2\cdot 1 \\ 2\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$

図形的には図２のように解釈することができる。

f:id:camelsan:20210625204501p:plain — 図２ベクトルのスカラー倍

即ち、方向は同じでベクトルの長さのみが２倍される。

以上をまとめると、幾何ベクトル全体の集合

$V=\left\{\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}:a,b\in \mathbb{R}\right\}$

は、和とスカラー倍と呼ばれる操作が存在する。これを抽象化する。即ち、逆に、和とスカラー倍を持つ集合のことをベクトル空間と呼ぶことにする(ベクトル空間の各々の元はある規則を満たすこととする)。正確に、ベクトル空間を次のように定義する(以下のの定義において、〇〇[△△]は、〇〇のかわりに、△△としてもよいことを表す。ただし、〇〇と△△を交互に入れ替えてはならず、一方のみに統一する)。

定義
集合 $V$ が次の①、②を満たすとき、実[複素]ベクトル空間という。
① $V$ の２元 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ に対し、和と呼ばれる第３の元( $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}$ と表す)が定まり、次の法則が成り立つ：
(1)

$(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})$

(2)

$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}$

(3) 零ベクトルと呼ばれる元( $\boldsymbol{0}$ で表す)がただ１つ存在し、 $V$ のすべての元に対して

$\boldsymbol{0}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$

が成り立つ。
(4) $V$ のすべての元 $x$ に対し、 $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{0}$ となる $V$ の元 $\boldsymbol{x}^{\prime}$ がただ１つ存在する。 $\boldsymbol{x}^{\prime}$ を $\boldsymbol{x}$ の逆ベクトルといい、 $-\boldsymbol{x}$ で表す。

② $V$ の元 $\boldsymbol{x}$ と実数[複素数] $a$ に対し、 $\boldsymbol{x}$ の $a$ 倍と呼ばれるもう一つの $V$ の元( $a\boldsymbol{x}$ と表す)が定まり、次の法則が成り立つ。
(5)

$(a+b)\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}$

(6)

$a(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y}$

(7)

$(ab)\boldsymbol{x}=a(b\boldsymbol{x})$

(8)

$1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$

ベクトル空間 $V$ の元を単にベクトルと呼ぶ(幾何ベクトルの集合の元の一つをベクトルと呼んだことの抽象化)。実[複素]ベクトル空間を $\mathbb{R}$ [ $\mathbb{C}$ ]上のベクトル空間と呼ぶこともある。

3. ベクトル空間の例
(1) 幾何ベクトルの集合を、

$V=\left\{\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}:a,b\in \mathbb{R}\right\}$

とする。幾何ベクトルを、２行１列の行列とみて、行列の和の演算規則からベクトル空間の定義①(1)、(2)が成り立つ。行列の和の演算規則に関しては以下の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

続いて、

$\boldsymbol{0}=\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\in V$

とすると

$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\in V$

に対して

$\boldsymbol{0}+\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0+x_1 \\ 0+x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\boldsymbol{x}$

より、 $\boldsymbol{0}$ が零ベクトルである。また、

$-\boldsymbol{x} =\begin{pmatrix}-x_1 \\ -x_2 \end{pmatrix}$

とすると

$\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-x_1 \\-x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1+(-x_1) \\ x_2+(-x_2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} =\boldsymbol{0}$

より $\boldsymbol{x}$ の逆ベクトルは、 $-\boldsymbol{x}$ である。従って、ベクトル空間の定義の①(3)、(4)が成り立つ。一方、行列のスカラー倍の規則から、幾何ベクトルについて、ベクトル空間の定義②が成り立っている。
以上より、幾何ベクトルの集合 $V$ はベクトル空間である。

(2)幾何ベクトルの矢印のイメージを離れた例を紹介する。写像の集合もベクトル空間となる。

$A$ を集合とする。 $A$ から実数の集合 $\mathbb{R}$ への写像全体の集合