【線型代数学入門】基本変形 - ベイジアン研究所

1. 記事の目的
以下の記事で行列の演算に関して述べた。本記事では行列を利用した連立一次方程式の解法で必要となる基本変形に関して解説する。

camelsan.hatenablog.com

2. 基本変形
行列を扱う際、できるだけ簡単な形の行列に変形して考えることが有用な場合が多い。例えば連立一次方程式の開放に行列を利用するときも、そのひとつである。具体的には、

$\begin{pmatrix}0&2&4&2\\1&2&3&1\\-2&-1&0&1\end{pmatrix}$

のような行列を、

$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

のような行列に変形する。

3. 基本行列
以下で基本行列と呼ばれる３種類の特別な正方行列を述べる。
(1)図１の行列を $P_n(i,j)$ とする。

f:id:camelsan:20210126203931p:plain — 図１基本行列一つ目

$n$ 次単位行列の、第 $i$ 列と第 $j$ 列を交換したものである。 $(m,n)$ 型行列 $A$ に対し、 $P_m(i,j)$ を左から掛けると、 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行が交換される。
例：

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}, P_2(1,2)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

とする。このとき

$\begin{split}P_2(1,2)A&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}\end{split}$

となる。従って、 $P_2(1,2)$ を左から掛けると、ちょうど $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行が交換されている。

$(m,n)$ 型行列 $A$ に対し、 $P_n(i,j)$ を右から掛けると、 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列が交換される。
例：

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}, P_3(1,2)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

とする。このとき

$\begin{split}AP_3(1,2)&=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2&1&3\\5&4&6\end{pmatrix}\end{split}$

となる。従って、 $P_3(1,2)$ を右から掛けると、ちょうど、 $A$ の第 $1$ 列と第 $2$ 列が交換されている。

$P_n(i,j)$ は正則で、逆行列は $P_n(i,j)$ 自身である。
証明：逆行列の定義については次の記事を参考にしてほしい。

camelsan.hatenablog.com

$P_n(i,j)P_n(i,j)$ を考える。 $P_n(i,j)$ に右から $P_n(i,j)$ がかけられていると考えると、 $P_n(i,j)$ の第 $i$ 列と第 $j$ 列が交換されるので、これは単位行列 $E$ となる。従って、

$P_n(i,j)P_n(i,j)=E$

よって $P_n(i,j)$ は正則で、逆行列は $P_n(i,j)$ 自身である。

(2) 図２の行列を $Q_n(i;c)$ とする。

f:id:camelsan:20210127192413p:plain — 図２基本行列二つ目

単位行列の $(i,i)$ 成分を、 $0$ でない数 $c$ に置き換えた行列である。

$(m,n)$ 型行列 $A$ に対し、左から $Q_m(i;c)$ を掛けると、 $A$ の第 $i$ 行が $c$ 倍される。
例：

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}, Q_2(1;2)=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$

とすると、

$Q_2(1;2)A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4&6\\4&5&6\end{pmatrix}$

従って、 $Q_2(1;2)$ を左から掛けると、ちょうど $A$ の $1$ 行目が $2$ 倍されている。

$(m,n)$ 型行列 $A$ に対して右から $Q_n(i;c)$ を掛けると、 $A$ の第 $i$ 列が $c$ 倍される。
例：

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}, Q_3(1;2)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

とすると

$AQ_3(1;2)=\begin{pmatrix}2&2&3\\8&5&6\end{pmatrix}$

従って、 $Q_3(1;2)$ を右から掛けると、ちょうど $A$ の $1$ 列目が $2$ 倍されている。

$Q_n(i;c)$ は正則で、その逆行列は $Q_n(i;c^{-1})$ である。
証明： $Q_n(i;c)Q_n(i;c^{-1})$ を考える。 $Q_n(i;c)$ に右から $Q_n(i;c^{-1})$ がかけられていると考えると、 $Q_n(i;c)$ の第 $i$ 列が $c^{-1}$ されるので、単位行列となる。即ち

$Q_n(i;c)Q_n(i;c^{-1})=E$

$Q_n(i;c^{-1})Q_n(i;c)$ を考える。 $Q_n(i;c)$ に左から $Q_n(i;c^{-1})$ がかけられていると考えると、 $Q_n(i;c)$ の第 $i$ 行が $c^{-1}$ されるので、単位行列となる。即ち

$Q_n(i;c^{-1})Q_n(i;c)=E$

従って、

$Q_n(i;c)Q_n(i;c^{-1})=Q_n(i;c^{-1})Q_n(i;c)=E$

より、 $Q_n(i:c)$ は正則で、その逆行列は $Q_n(i;c^{-1})$ である。

(3) 図３の行列を $R_n(i,j;c)$ とする。

f:id:camelsan:20210127195709p:plain — 図３基本行列三つ目

単位行列の $(i,j)$ 成分( $i\neq j$ )を数 $c$ に変えたものが、 $R_n(i,j;c)$ である。

$(m,n)$ 型行列 $A$ に左から $R_m(i,j:c)$ を掛けると、 $A$ の第 $i$ 行に第 $j$ 行の $c$ 倍が加わる。
例：

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}, R_2(1,2;2)=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$

とすると

$\begin{split}R_2(1,2;2)A&=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1+2\times 4&2+2\times 5&3+2\times 6\\4&5&6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}9&12&15\\4&5&6\end{pmatrix}\end{split}$

従って、 $R_2(1,2;2)$ を左から掛けると、ちょうど $A$ の第 $1$ 行に第 $j$ 行の $2$ 倍が加わっている。

$(m,n)$ 型行列 $A$ に対し、右から $R_n(i,j;c)$ を掛けると、 $A$ の第 $j$ 列に第 $i$ 列の $c$ 倍が加わる。
例：

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}, R_3(1,2;2)=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

とすると、

$\begin{split}AR_3(1,2;2)&=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&1\times 2+2&3\\4&4\times 2+5&6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&4&3\\4&13&6\end{pmatrix}\end{split}$

従って、 $R_3(1,2;2)$ を右から掛けると、ちょうど $A$ の第 $2$ 列に第 $1$ 列の $2$ 倍が加わっている。

$R_n(ij;c)$ は正則で、逆行列は $R_n(i,j;-c)$ である。
証明： $R_n(i,j;c)R_n(i,j;-c)$ を考える。 $R_n(i,j;c)$ に右から $R_n(i,j;-c)$ がかけられていると考えると、 $R_n(i,j;c)$ の第 $j$ 列に第 $i$ 列の $-c$ 倍が加わるので、第 $j$ 列の第 $i$ 成分は $0$ となる。即ち単位行列となる。よって

$R_n(i,j;c)R_n(i,j;-c)=E$

$R_n(i,j;-c)R_n(i,j;c)$ を考える。 $R_n(i,j;c)$ に左から $R_n(i,j;-c)$ がかけられていると考えると、 $R_n(i,j;c)$ の第 $i$ 行に第 $j$ 行の $-c$ 倍が加わるので、第 $i$ 行の第 $j$ 成分は $0$ となる。即ち単位行列となる。よって

$R_n(i,j;-c)R_n(i,j;c)=E$

以上の(1)、(2)、(3)の正則行列を基本行列という。行列 $A$ の左または右から基本行列を掛けることを、左基本変形または右基本変形という。両方合わせて、基本変形という。

4. まとめ
基本変形は次の６種類の変形となる。
(左１) 二つの行を入れ替える。
(左２) ある行に $0$ でない数を掛ける。
(左３) ある行に他のある行の定数倍を加える。
(右１) 二つの列を入れ替える。
(右２) ある列に $0$ でない数を掛ける。
(右３) ある列に他のある列の定数倍を加える。

camelsan.hatenablog.com

5. 参考文献
[1] 線型代数入門

線型代数入門（基礎数学） [ 斎藤正彦 ]

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