2021-09-08

【線型代数学入門】ユニタリ行列とユニタリ変換

線形代数

1. 記事の目的
以下の記事で計量ベクトル空間について述べた。本記事では、計量ベクトル空間の計量同型写像である、ユニタリ変換について述べる。また、その行列表示にあたる、ユニタリ行列について述べる。ユニタリ行列は計量ベクトル空間の線型変換の対角化で重要となる。

camelsan.hatenablog.com

本記事では、 $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする。

2. ユニタリ行列
$K^n$ 内の通常の計量(上記の記事の例3.1の計量)を考える。行列とこの計量に関し、次の定理が成り立つ。
定理2.1
$A$ が $(m,n)$ 型行列ならば、任意の $\boldsymbol{x}\in K^n, \boldsymbol{y}\in K^m$ に対し、

$(A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, ^t\overline{A} \boldsymbol{y})\tag{1}$

が成り立つ( $\overline{A}$ は $A$ の各成分で、複素共役をとった行列)。逆に任意の $\boldsymbol{x}\in K^n, \boldsymbol{y}\in K^m$ に対して

$(A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, B \boldsymbol{y})\tag{2}$

が成り立てば、 $B=^t\overline{A}$ である。
証明： $K^n$ の計量に関し、

$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}, \ \ \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$

とすると、通常の内積は次のように書き直すことができる。

$\begin{split} (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})&=a_1\overline{b_1}+\dots+a_n\overline{b_n} \\ &=\begin{pmatrix}a_1 &\dots & a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\overline{b_1} \\ \vdots \\ \overline{b_n} \end{pmatrix} &=^t\boldsymbol{a}\overline{\boldsymbol{b}} \end{split}$

と書くことができる(最下式の席は行列に関する積)。よって、

$\begin{split} (A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})&=^t(A\boldsymbol{x})\overline{\boldsymbol{y}} \\ &=^t\boldsymbol{x} ^tA\overline{\boldsymbol{y}} \\ &=^t\boldsymbol{x}\overline{(^t\overline{A}\boldsymbol{y})} \ \ (\overline{\overline{A}}=A, \ \ \overline{AB}=\overline{A}\overline{B}) \\ &=(\boldsymbol{x}, ^t\overline{A}\boldsymbol{y}) \end{split}$

である。従って、式(1)が成り立つ。式(2)が成り立つと仮定すると、

$\begin{split} (\boldsymbol{x}, B\boldsymbol{y})&=(A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \\ &=(\boldsymbol{x},^t\overline{A}\boldsymbol{y}) \end{split}$

である。移項することにより、

$(\boldsymbol{x}, (^t\overline{A}-B)\boldsymbol{y})=0 \tag{3}$

となる。従って、任意の $\boldsymbol{y}$ に対し、 $( ^t\overline{A}-B)\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$ である (式(3)で、 $\boldsymbol{x}=(0,\dots,1,\dots,0)^t$ とすれば $(^t\overline{A}-B)\boldsymbol{y}$ の各成分が $0$ になることから言える)。ゆえに $B=^t\overline{A}$ である。

$^t\overline{A}$ を $A$ の随伴行列と言い、 $A^*$ で表す。

正方行列 $A$ が、 $A=A^*$ を満たすとき、 $A$ をエルミート行列という。特に、実数のみを成分に持つエルミート行列を、実対称行列という。

続いて、ユニタリ行列を定義する。
定義
正方行列 $A$ が、 $A^* A=E$ を満たすとき、 $A$ をユニタリ行列という。特に実数成分のみからなるユニタリ行列を、直交行列という。

ユニタリ行列に関し、次の同値条件がある。
定理2.2
$n$ 次正方行列 $A$ に関する次の4条件は同値である。
(1) $A$ はユニタリ行列である。
(2) 任意の $\boldsymbol{x}\in K^n$ に対して

$\|A\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|$

(3) 任意の $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in K^n$ に対して

$(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$

(4) $A$ の列ベクトルを $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_n$ とするとき

$(\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j) =\begin{cases} 1 && (i=j) \\ 0 && (i\neq j) \end{cases}$

証明：(1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1) を証明して、(1)と(2)と(3)の同値性を示したのち、(1)と(4)の同値性を示して、(1)~(4)の同値性を証明する。
(1) $\Rightarrow$ (2)

$\begin{split} \|A\boldsymbol{x}\|^2 &= (A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{x}) \\ &=^t\boldsymbol{x}^t A\overline{A}\overline{\boldsymbol{x}} \\ &=^t\boldsymbol{x}^t (A^* A) \overline{\boldsymbol{x}} \\ &=^t\boldsymbol{x}\overline{\boldsymbol{x}} \\ &=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\|^2 \end{split}$

(2) $\Rightarrow$ (3) まず証明方法について述べる。 $x$ を複素数とする。つまり、実数部を $a$ 、虚数部を $b$ とすると、

$x=a+ib$

このとき、

$\begin{split} x+\overline{x}&=(a+ib)+(a-ib) \\ &=2a \end{split}$

よって、 $\frac{x+\overline{x}}{2}$ は、 $x$ の実数部を表す。また、

$\begin{split} x-\overline{x}&=(a+ib)-(a-ib) \\ &=2ib \end{split}$

より、 $\frac{x-\overline{x}}{2i}$ は、 $x$ の虚数部を表す。

ここでは、(2)を仮定し(3)を示すために、 $(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x})$ と $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})$ の実数部と虚数部がそれぞれ等しいことを、上記の実数部と虚数部の表現方法を用いて証明する。

任意の[tex:\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in Kⁿ]に対して、

$\begin{split} \|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2 &= (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) \\ &=^t(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\overline{(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})} \\ &=(^t\boldsymbol{x}+^t\boldsymbol{y})(\overline{\boldsymbol{x}}+\overline{\boldsymbol{y}}) \\ &=^t\boldsymbol{x}\overline{\boldsymbol{x}}+^t\boldsymbol{x}\overline{\boldsymbol{y}}+^t\boldsymbol{y}\overline{\boldsymbol{x}}+^t\boldsymbol{y}\overline{\boldsymbol{y}} \\ &=\|x\|^2+(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})+(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\|y\|^2 \\ &=\|x\|^2+(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})+\overline{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})}+\|y\|^2 \end{split}$

(3)の仮定から、

$\|A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\|=\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|, \ \ \|A\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|, \ \ \|A\boldsymbol{y}\|=\|\boldsymbol{y}\|$

より、

$(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})+\overline{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})}=(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})+\overline{(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})}$

である。よって、

$\frac{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})+\overline{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})}}{2}=\frac{(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})+\overline{(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})}}{2}$

より、 $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ と $(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})$ との実数部分は互いに等しい、式(4)で $\boldsymbol{x}$ に $i\boldsymbol{x}$ を代入すると、

$\frac{i(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})-i\overline{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})}}{2}=\frac{i(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})-i\overline{(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})}}{2}$

となる。よって、

$\frac{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})+\overline{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})}}{2i}=\frac{(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})+\overline{(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})}}{2i}$

より、 $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ と $(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})$ の虚数部も等しい。即ち $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})$ である。
(3) $\Rightarrow$ (1) 任意の $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\in K^n$ に対し、

$\begin{split} (\boldsymbol{x}, (A^* A-E)\boldsymbol{y}) &= (\boldsymbol{x}, A^* A\boldsymbol{y})-(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \\ &=(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})-(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \ \ (定理2.1より) \\ &=0 \end{split}$

である。よって、 $A^* A-E=0$ より、 $A$ はユニタリ行列である。
(1) $\Rightarrow$ (4)

$\begin{split} ^tA\overline{A} &= ^t \begin{pmatrix} \ \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \dots & \boldsymbol{a}_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{\boldsymbol{a}_1} & \overline{\boldsymbol{a}_2} & \dots & \overline{\boldsymbol{a}_n} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \ ^t\boldsymbol{a}_1 \\ ^t\boldsymbol{a}_2 \\ \dots \\ ^t\boldsymbol{a}_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{\boldsymbol{a}_1} & \overline{\boldsymbol{a}_2} & \vdots & \overline{\boldsymbol{a}_n} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \ ^t\boldsymbol{a}_1\overline{\boldsymbol{a}_1} & \dots & ^t\boldsymbol{a}_1\overline{\boldsymbol{a}_n} \\ \vdots & & \vdots \\ ^t\boldsymbol{a}_n\overline{\boldsymbol{a}_1} & \dots & ^t\boldsymbol{a}_n\overline{\boldsymbol{a}_n} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \ (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_1) & \dots & (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_n) \\ \vdots & & \vdots \\ (\boldsymbol{a}_n,\boldsymbol{a}_1) & \dots & (\boldsymbol{a}_n,\boldsymbol{a}_n) \end{pmatrix} \end{split} \tag{5}$

が成り立つ。 $A$ をユニタリ行列とすると、

$A^*A=E$

である。両辺で転置行列をとると

$^t A\overline{A}=E$

である。よって、式(5)より

$\begin{pmatrix} \ (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_1) & \dots & (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_n) \\ \vdots & & \vdots \\ (\boldsymbol{a}_n,\boldsymbol{a}_1) & \dots & (\boldsymbol{a}_n,\boldsymbol{a}_n) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & & \Huge{0} \\ &\ddots& \\ \Huge{0} & & 1 \end{pmatrix}$

が成り立つ。よって、

$(\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j) =\begin{cases} 1 && (i=j) \\ 0 && (i\neq j) \end{cases} \tag{6}$

である。逆に、式(6)が成り立つとき、

$^t A\overline{A}=E$

である。両辺で転置行列をとれば、

$A^*A=E$

であるから、 $A$ はユニタリ行列である。

実数行列に対しては次が成り立つ(証明は定理2.2と同じ)。
定理2.3
$n$ 次実数値正方行列 $A$ に関する次の4条件は同値である。
(1) $A$ は直交行列である。
(2) 任意の $\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n$ に対して

$\|A\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|$

(3) 任意の $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in \boldsymbol{R}^n$ に対して

$(A\boldsymbol{x}, A\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$

(4) $A$ の列ベクトルを $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_n$ とするとき

$(\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j) =\begin{cases} 1 && (i=j) \\ 0 && (i\neq j) \end{cases}$

3. ユニタリ変換
計量ベクトル空間の線形写像で、それを行列で表現したときの行列がユニタリ行列であるようなものがユニタリ変換である。正確には以下で定義する。計量ベクトル空間と線形写像の行列による表示は下記の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

まず、計量ベクトル空間の正規直交基底とユニタリ行列の関係を見る。

定理3.1
$V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間とする。 $(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi), (\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\dots,\boldsymbol{f}_n;\psi)$ を $V$ の２つの正規直交基底とする。このとき、 $(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ から $(\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\dots,\boldsymbol{f}_n;\psi)$ への基底の取り替え行列を、 $P$ とすると、 $P$ はユニタリ行列である。
証明： $T_p=\varphi\circ \psi^{-1}$ は、 $K^n$ から $K^n$ への同型写像であるから、 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\in K^n$ のとき、

$(P\boldsymbol{x}, P\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$

である。よって、定理2.2より、 $P$ はユニタリ行列である。

上記の定理の逆に当たる次も成り立つ。計量ベクトル空間の正規直交基底をユニタリ行列で移したとき、正規直交基底となる。実際、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ を正規直交基底とし、 $P$ をユニタリ行列とすると、

$(P\boldsymbol{e}_i,P\boldsymbol{e}_j)=(\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{e}_j) =\begin{cases} 1 && (i=j) \\ 0 && (i\neq j) \end{cases}$

であるので、 $P\boldsymbol{e}_1,P\boldsymbol{e}_2,\dots,P\boldsymbol{e}_n$ も正規直交基底である。

ユニタリ変換を定義する。
定義
ユニタリ空間(ユークリッド空間) $V$ の $V$ から $V$ 自身への計量同型写像を、 $V$ のユニタリ変換(直交変換)という。

次の定理が成り立つ。
定理3.2
ユニタリ空間(ユークリッド空間) $V$ のユニタリ変換(直交変換) $T$ の任意の正規直交基底 $(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ に関する行列はユニタリ行列である。逆に $V$ の線型変換の、ある正規直交基底に関する行列表示がユニタリ行列(直交行列)ならば、 $T$ はユニタリ変換(直交変換)である。
証明： $T$ の $(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ に関する行列を $A$ とする。

$T_A=\varphi\circ T \circ \varphi^{-1}$

は、 $K^n$ から $K^n$ への同型写像であるから、 $A$ はユニタリ行列(直交行列)である。逆に $A$ がユニタリ行列(直交行列)ならば、 $T_A$ は $K^n$ から $K^n$ への計量同型写像であるから、 $T=\varphi^{-1} \circ T_A \circ \varphi$ は、 $V$ から $V$ への計量同型写像である。よって、 $T$ はユニタリ変換(直交変換)である。

4. 参考文献
[1] 線型代数入門

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感想(2件)

2021-09-04

【線形代数入門】計量ベクトル空間

線形代数

1. 記事の目的
下記の記事でベクトル空間について述べた。本記事ではベクトル空間に「計量」を導入すると、基底やそのベクトル空間がどのように述べられるかを見る。
本記事では、 $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ を表すものとする。

camelsan.hatenablog.com

2. 計量ベクトル空間の定義
定義
$K$ 上のベクトル空間 $V$ がさらに次を満たすとき、 $V$ を計量ベクトル空間という。
$V$ の2元 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ に対し、内積と呼ばれる $K$ の元( $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ と表す)が定まり、次の性質をもつ(下記で $\bar{c}$ は複素数 $c$ の複素共役を表すものとする)。
(1)

$\begin{split} (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2)&=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}_2) \\ (\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y})&=(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y})+(\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}) \end{split}$

(2)

$(c\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=c(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), \ \ (\boldsymbol{x}, c\boldsymbol{y})=\bar{c}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$

(3)

$(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\overline{(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})}$

(4) $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})$ は $0$ または正の実数であり、 $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})=0$ となるのは $\boldsymbol{x}=0$ のときに限る。

$K=\mathbb{R}$ のとき、(2)、(3)のバールは不要で、 $\mathbb{R}$ 上の計量ベクトル空間のことをユークリッド空間といい、 $K=\mathbb{C}$ のとき $\mathbb{C}$ 上の計量ベクトル空間のことをユニタリ空間とも言う。

$(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})$ の負でない平方根 $\sqrt{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})}$ を、 $\boldsymbol{x}$ の長さまたはノルムと言い、 $\|\boldsymbol{x}\|$ で表す。 $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=0$ のとき、 $\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{y}$ は直交するという。

直交性と線型独立性は次の関係がある。
定理2.1
$\boldsymbol{0}$ でないベクトル $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_k$ が互いに直交するならば、それらは線型独立である。
証明：線形関係

$c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{0}\tag{1}$

があったとすると、式(1)の両辺で、 $\boldsymbol{x}_i \ \ (i=1,\dots,k)$ と内積をとると

$\begin{split} \boldsymbol{0}=(\boldsymbol{0},\boldsymbol{x}_i)&=(c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{x}_i) \\ &=c_1(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_i)+\dots+c_i(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_i)+\dots+c_k(\boldsymbol{x}_k,\boldsymbol{x}_i) \\ &=c_i \end{split}$

よって、 $c_1=c_2=\dots=c_k=0$ より式(1)は自明な線形関係なので、 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_k$ は線型独立である。

例2.2
$\mathbb{R}^n$ は次の計量によってユークリッド空間となる。

$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}, \ \ \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$

とすると

$(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=x_1 y_1+x_2 y_2+\dots+x_n y_n$

$\mathbb{C}^n$ は次の計量によってユニタリ空間となる。

$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}, \ \ \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix} \in \mathbb{C}^n$

とすると

$(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=x_1 \overline{y_1}+x_2\overline{ y_2}+\dots+x_n \overline{y_n}$

3. 正規直交基底
定義
計量ベクトル空間 $V$ のベクトル空間 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_k$ が互いに直交し、かつ、どのベクトルの長さも $1$ に等しいとき、それらは正規直交系であるという。さらに、正規直交系が $V$ の基底であるとき、正規直交基底という。

例3.1
$\mathbb{R}^n$ において、

$\boldsymbol{e}_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \boldsymbol{e}_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

は正規直交基底である。実際、例2.2( $n=2$ )の計量で、

$\begin{split} \|\boldsymbol{e}_1\|&=\sqrt{(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_1)}=\sqrt{1\cdot 1+0\cdot 0}=1 \\ \|\boldsymbol{e}_2\|&=\sqrt{(\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_2)}=\sqrt{0\cdot 0+1\cdot 1}=1 \\ (\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2)&=1\cdot 0+0\cdot 1 \end{split}$

である。

正規直交基底は、計量ベクトル空間には必ず存在する。その証明はシュミットの直交化法と呼ばれる次の方法によって証明される。

定理3.2
任意の計量ベクトル空間 $V\neq\{\boldsymbol{0}\}$ は正規直交基底をもつ。さらに詳しく、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_r$ が正規直交系であるとき、これに何個かのベクトルを付け加えて、 $V$ の正規直交基底を得ることができる。
証明： $V\neq\{\boldsymbol{0}\}$ より、 $\boldsymbol{v}\neq\boldsymbol{0}$ であるベクトルが存在する。このとき

$\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\|\boldsymbol{v}\|}\boldsymbol{v}$

とおくことで、少なくとも一つ正規直交基系 $\{\boldsymbol{e}_1\}$ が存在する。

$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_r$ が正規直交系であるとき、 $\boldsymbol{a}$ が $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_r$ の線型結合として表されないとき、

$\boldsymbol{a}^{\prime}=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2-\dots-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_r)\boldsymbol{e}_r$

とおくと、

$\begin{split} (\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{a}^{\prime})&=(\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{a})-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_1)(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_i)-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_2)(\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_i)-\dots-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_r)(\boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_i) \\ &=(\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{a})-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_i) \\ &=\boldsymbol{0} \ \ (i=1\dots,r) \end{split}$

従って、 $\boldsymbol{e}_{r+1}=\frac{1}{\|\boldsymbol{a}^{\prime}\|}\boldsymbol{a}^{\prime}$ とすれば、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_{r+1}$ は、正規直交基底となり、定理2.1からこれらは線型独立である。また、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_{r+1}$ が生成する部分空間は、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{a}$ が生成する部分空間に等しい。従って、 $V$ は有限次元なので、この操作は有限回で終了し、正規直交基底が得られる。

4. 直交補空間
計量ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W$ に対し $W$ のすべての元と直交するような $V$ の元全体の集合を考える。それを $W^{\bot}$ で表すこととする。即ち

$W^{\bot}=\{\boldsymbol{v}\in V : (\boldsymbol{v},\boldsymbol{w} )=0 \ \ (\boldsymbol{w}\in W) \}$

$W^{\bot}$ は部分空間である。実際、 $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\in W^{\bot}$ とすると、任意の $W$ の元 $\boldsymbol{w}$ に対し

$(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w})=(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{w})+(\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w})=0$

より $\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2\in W^{\bot}$ である。また、 $\alpha\in\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{v}\in W^{\bot}$ とすると、任意の $\boldsymbol{w}\in W$ に対して

$(\alpha\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=\alpha (\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=0$

より、 $\alpha\boldsymbol{v}\in W^{\bot}$ である。よって、 $W^{\bot}$ は $V$ の部分空間である。 $W^{\bot}$ を $W$ の直交補空間という。部分空間については以下の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

直交補空間に対し、次が成り立つ。
定理4.1
$V$ を計量ベクトル空間、 $W$ を $V$ の部分空間とする。このとき

$V=W\oplus W^{\bot}$

証明： $W\oplus W^{\bot}\subset V$ は成り立つ。逆の包含関係を示せばよい。 $W$ の正規直交基底が定理3.2より存在する。それを $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_r$ とする。 $V$ の任意の元 $\boldsymbol{x}$ に対し、

$\boldsymbol{x}_1=\displaystyle\sum_{i=1}^{r}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}_i, \ \ \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1$

とおくと、 $\boldsymbol{x}_1\in W$ で、 $(\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{e}_i)=0 \ \ (i=1,\dots,r)$ より、 $\boldsymbol{x}_2\in W^{\bot}$ である。よって、 $\boldsymbol{x}\in W+W^{\bot}$ である。従って、

$V=W+W^{\bot}$

また、 $W\cap W^{\bot}$ の任意の元を $\boldsymbol{x}$ とすると、 $\boldsymbol{x}\in W$ でかつ、 $\boldsymbol{x}\in W^{\bot}$ でもある。よって $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=0$ が成り立つ。計量の定義より、 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ である。即ち

$W\cap W^{\bot}=\{\boldsymbol{0}\}$

である。従って下記の記事の定理3.1より

$V=W\oplus W^{\bot}$

となる。

camelsan.hatenablog.com

5. 計量同型
$V, V^{\prime}$ がともに $K$ 上の計量ベクトル空間であり、 $\varphi$ が $V, V^{\prime}$ への同型写像とする。このとき、 $V$ の計量 $( \ , \ )$ と $V^{\prime}$ の計量 $( \ , \ )^{\prime}$ に対し

$(\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))^{\prime}=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$

を満たすとき、 $\varphi$ を $V$ から $V^{\prime}$ への計量同型写像という。

例4.2
$K^n$ には例3.1で定められる計量がある。 $V$ が計量ベクトル空間で、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ が $V$ の正規直交基底であるとき、この基底で定まる $V$ から $K^n$ への同型写像

$\varphi:V\rightarrow K^n;x_1\boldsymbol{e}_1+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n\mapsto \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$

は $V$ から[tex:Kⁿ]への計量同型写像である。実際、

$\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n, \ \ \boldsymbol{y}=y_1\boldsymbol{e}_1+\dots+y_n\boldsymbol{e}_n$

ならば、

$\begin{split} (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})&=\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{j=1}^n x_i\overline{y_j} (\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{e}_j) \\ &=\displaystyle\sum_{i=j=1}^n x_i\overline{y_j} (\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{e}_j) \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i} \end{split}$

一方

$\varphi(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \ \ \varphi(\boldsymbol{y})=\begin{pmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

であるから、

$(\varphi(\boldsymbol{x}), \varphi(\boldsymbol{y}))=x_1\overline{y_1}+\dots+x_n\overline{y_n}$

となる。よって

$(\varphi(\boldsymbol{x}), \varphi(\boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$

であり、 $\varphi$ は計量同型である。

特に、 $K$ 上の次元の等しい計量ベクトル空間はすべて互いに計量同型である。実際、 $V, V^{\prime}$ を $n$ 次元の計量ベクトル空間とし、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ を $V$ の基底、 $\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n$ を $V^{\prime}$ の基底とすると、次の計量同型がある。

$\varphi:V\rightarrow K^n\rightarrow V^{\prime};x_1\boldsymbol{e}_1+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n\mapsto \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\mapsto x_1\boldsymbol{f}_1+\dots+x_n\boldsymbol{f}_n$

5. 参考文献
[1] 線型代数入門

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(2021/12/6 21:07時点)
感想(2件)

2021-09-03

【線形代数学入門】基底と行列

線形代数

1. 記事の目的
以下の記事で、基底の定義と基底を使った次元の定義について述べた。本記事では、基底の変換行列およびベクトル空間の間の線形写像の、行列による表現について述べる。

camelsan.hatenablog.com

本記事では、常に $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ を表すものとする。

2. 基底の変換行列
$V$ を $K$ 上のベクトル空間とする。 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ と $\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n$ を $V$ の２つの基底とする。これら２つの基底が定める $V$ から $K^n$ への同型写像を $\varphi, \psi$ とする。即ち任意の $V$ の元を、 $\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n=y_1\boldsymbol{f}_1+\dots+y_n\boldsymbol{f}_n$ と表したとき、

$\begin{split} &\varphi : V \rightarrow K^n ; \boldsymbol{x} \mapsto \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ &\psi : V \rightarrow K^n ; \boldsymbol{x} \mapsto \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ \end{split}$

である。

このとき、 $\varphi\circ\psi^{-1}$ は、 $K^n$ から $K^n$ への同型写像であるから、以下の記事の4節の定理から、 $n$ 次正方行列 $P=(p_{ij})$ によって定まる $K^n$ の線型変換 $T_P$ に等しい。

camelsan.hatenablog.com

このとき、 $K^n$ の元 $(y_1\dots,y_n)^T$ に対し、

$\varphi\circ\psi^{-1}\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\right)=T_P\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\right)=P\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\right)$

である。

$\begin{split} 左辺&=\varphi (y_1\boldsymbol{f}_1+\dots+y_n\boldsymbol{f}_n) \\ &=\varphi (x_1\boldsymbol{e}_1+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n) \\ &=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ 右辺&= \begin{pmatrix} p_{11} & \dots & p_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & \dots & p_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix} \end{split}$

である。即ち、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{11} & \dots & p_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & \dots & p_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix} \tag{1}$

が成り立つ。このとき行列 $P$ を基底の取り替え行列という。

$\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n$ を、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ の線型結合として表して、その線形結合の係数を求めてみる。

$\boldsymbol{f}_i=c_{i1}\boldsymbol{e}_1+\dots+c_{in}\boldsymbol{e}_n \ \ (i=1,\dots,n)$

と表す。このとき、 $c_{ij}$ は、式(1)に

$\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{i1} \\ \vdots \\ c_{in} \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_i \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$

を代入することで求めることができる。よって、 $c_{ij}=p_{ji}$ である。よって

$\boldsymbol{f}_i = \displaystyle\sum_{j=1}^np_{ji}\boldsymbol{e}_j \ \ (i=1,2,\dots,n)$

となる。

3. 線形写像の行列による表現
ベクトル空間において、基底を選んで、線形写像を行列で表現することを考える。

ベクトル空間 $V$ の一つの基底 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ を選べば、 $V$ から $K^n$ への同型写像 $\varphi$ が決まるので、基底とその同型写像を合わせて、基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ と言うことにする。

$V, V^{\prime}$ をそれぞれ $K$ 上の $n$ 次元と $m$ 次元の線形空間、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像とする。 $V$ の基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $V^{\prime}$ の基底 $(\boldsymbol{e}^{\prime}_1,\dots,\boldsymbol{e}^{\prime}_n;\varphi^{\prime})$ をとる。このとき $\varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1}$ は $K^n$ から $K^m$ への線形写像なので、ある $(m,n)$ 型行列 $A$ によって、

$\varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1}=T_A \tag{2}$

と書ける。行列 $A$ を基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{e}^{\prime}_1,\dots,\boldsymbol{e}^{\prime}_n;\varphi^{\prime})$ に関する $T$ の行列という。

基底に関する線形写像の行列を具体的に求める方法を述べる。上記で用いた記号の下で述べる。 $V$ の基底を $T$ によって写して、写されたベクトル空間の基底を使って線型結合で表した係数を見ることで求めることができる。

$A=(a_{ij})$ とおく。式(2)より $\varphi^{\prime}\circ T=T_A\circ\varphi$ で、 $T\boldsymbol{e}_j=x_{j1}\boldsymbol{e}_1^{\prime}+x_{j2}\boldsymbol{e}_2^{\prime}+\dots+x_{jm}\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ とおくと、

$\begin{pmatrix} x_{i1} \\ \vdots \\ x_{in} \end{pmatrix} = \varphi^{\prime} (T\boldsymbol{e}_j) = T_A\varphi (\boldsymbol{e}_j)= \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\a_{ij} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$

従って

$T\boldsymbol{e}_j=a_{1j}\boldsymbol{e}_1^{\prime}+a_{2j}\boldsymbol{e}_2^{\prime}+\dots+a_{mj}\boldsymbol{e}_m^{\prime} \ \ (j=1,\dots,m)$

この式により、 $T$ の行列の成分を求めることができる(基底を実際に線形写像で写して、値域のベクトル空間の基底で具体的に線型結合で表して、その係数を行列の成分として並べればよい)。

4. 線形写像の行列による表現と基底の変換
3節において、ベクトル空間の線形写像を行列で表現することを考えた。本節では、ベクトル空間の基底を変えた場合に、その線形写像の行列による表現はどう変わるかを見る。

$V, V^{\prime}$ をそれぞれ $n$ 次元、 $m$ 次元のベクトル空間とする。 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像とする。 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ をそれぞれ $V$ と $V^{\prime}$ の基底とする。 $(\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{f}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{f}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ をそれぞれ $V$ と $V^{\prime}$ のもう一つの基底とする。
基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ に関する $T$ の行列を $A$ 、基底 $(\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{f}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{f}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ に関する $T$ の行列を $B$ とする。即ち

$\begin{split} \varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1}=T_A \\ \psi^{\prime}\circ T\circ \psi^{-1}=T_B \end{split}$

である。 $V$ の基底 $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n;\varphi)$ 、 $(\boldsymbol{f}_1,\dots,\boldsymbol{f}_n;\varphi)$ に関する取り替え行列を $P$ 、 $V^{\prime}$ の基底 $(\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ 、 $(\boldsymbol{f}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{f}_n^{\prime};\varphi^{\prime})$ に関する取り替え行列を $Q$ とすると、

$\varphi\circ\psi^{-1}=T_P, \ \ \varphi^{\prime}\circ{\psi^{\prime}}^{-1}=T_Q$

である。このとき、

$\begin{split} T_B = \psi^{\prime}\circ T\circ \psi^{-1} &= \psi^{\prime}\circ ({\varphi^{\prime}}^{-1}\circ \varphi^{\prime})\circ T\circ (\varphi^{-1}\circ \varphi)\circ \psi^{-1} \\ &= (\psi^{\prime}\circ {\varphi^{\prime}}^{-1})\circ (\varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1})\circ (\varphi \circ \psi^{-1}) \\ &= T_{Q^{-1}}\circ T_A \circ T_P \\ &= T_{Q^{-1}AP} \end{split}$

従って、

$B=Q^{-1}AP\tag{3}$

が得られる。

5. 線形写像と階数
3節の結果から、線形写像を行列によって表現することができた。このことから、線形写像の階数を定義することができる。線形写像の階数の概念は、その表現された行列の階数であることを後々見ていく。行列の階数に関しては、以下の記事を参照。

camelsan.hatenablog.com

$V, V^{\prime}$ をベクトル空間とし、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像とする、 $T(V)$ の基底を、 $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_r^{\prime}$ とする。これを拡大した $V^{\prime}$ の基底を $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ とする。 $\boldsymbol{e}_i^{\prime}\in T(V) \ \ (i=1,\dots,r)$ より、 $T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{e}_i^{\prime} \ \ (i=1,\dots,r)$ となる $V$ の元 $\boldsymbol{e}_i$ がある。このとき、 $\boldsymbol{e}_i^{\prime}$ が線型独立なので、次の記事の定理3.1から、 $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_r^{\prime}$ も線型独立である。

camelsan.hatenablog.com

また、次の記事の定理2.1により、 $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の次元は $n-r$ である。

camelsan.hatenablog.com

よってその基底を $\boldsymbol{e}_{r+1},\dots,\boldsymbol{e}_n$ とする。このとき $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_{r+1},\dots,\boldsymbol{e}_n$ は $V$ の基底となる。実際、 $V$ の任意の元を、 $\boldsymbol{x}$ とする。 $T(\boldsymbol{x})\in T(V)$ より、 $T(V)$ の基底は $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_r^{\prime}$ なので、

$T(\boldsymbol{x})=c_1\boldsymbol{e}_1^{\prime}+\dots+c_r\boldsymbol{e}_r^{\prime}$

と表すことができる。また、 $T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{e}_i^{\prime} \ \ (i=1,\dots,r)$ となるようにとっていたので、

$\begin{split} T(\boldsymbol{x})&=c_1T(\boldsymbol{e}_1)+\dots+c_rT(\boldsymbol{e}_r) \\ &=T(c_1\boldsymbol{e}_1+\dots+c_r\boldsymbol{e}_r) \end{split}$

従って、

$T(\boldsymbol{x}-c_1\boldsymbol{e}_1-\dots-c_r\boldsymbol{e}_r)=\boldsymbol{0}^{\prime}$

より、

$\boldsymbol{x}-c_1\boldsymbol{e}_1-\dots-c_r\boldsymbol{e}_r\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$

で、 $\boldsymbol{e}_{r+1},\dots,\boldsymbol{e}_n$ を $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の基底としてとっていたので、

$\boldsymbol{x}-c_1\boldsymbol{e}_1-\dots-c_r\boldsymbol{e}_r=c_{r+1}\boldsymbol{e}_{r+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n$

とかける。よって、

$\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{e}_1+\dots+c_r\boldsymbol{e}_r+c_{r+1}\boldsymbol{e}_{r+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n$

より $V$ の任意の元は、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ の線型結合で書くことができる。つぎに線型独立性を示す。線形関係

$c_1\boldsymbol{e}_1+c_2\boldsymbol{e}_2+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}\tag{3}$

があったとすると、両辺を $T$ で写すことにより( $T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{e}_i^{\prime} \ \ (i=1,\dots,r)$ 、 $\boldsymbol{e}_j\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime}) \ \ (j=r+1,\dots,n)$ を使う)

$c_1\boldsymbol{e}_1^{\prime}+c_2\boldsymbol{e}_2^{\prime}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n^{\prime}=\boldsymbol{0}^{\prime}$

$\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_r^{\prime}$ は線型独立なので、 $c_1=\dots=c_r=0$ である。式(3)に代入して、

$c_{r+1}\boldsymbol{e}_{r+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}$

となる。 $\boldsymbol{e}_{r+1},\dots,\boldsymbol{e}_n$ も線型独立であることから、 $c_{r+1}=\dots=c_n=0$ である。よって、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ は線型独立である。以上より、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ は $V$ の基底となる。

線形写像 $T$ の、基底 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ と $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ に関する行列 $A$ は、

$\begin{split} T\boldsymbol{e}_j&=\boldsymbol{e}_j^{\prime} \ \ (j=1,\dots,r) \\ T\boldsymbol{e}_i&=\boldsymbol{0}^{\prime} \ \ (i=r+1,\dots,n) \end{split}$

であるから、

$A= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =F_r (m,n)$

である。以上の議論から次の定理が証明された。

定理5.1
ベクトル空間 $V$ から $V^{\prime}$ への任意の線形写像 $T$ に対して、 $V, V^{\prime}$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ と $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ を適切に選べば、 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n$ と $\boldsymbol{e}_1^{\prime},\dots,\boldsymbol{e}_m^{\prime}$ に関する $T$ の行列は、標準形

$F_r (m,n)= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

となる。

定理5.1は、線形写像の階数と行列の階数の関係を述べるためにカギとなる。

ここで、線形写像の階数を次のように定義する。

定義5.2
$T$ がベクトル空間 $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像であるとき、像空間 $T(V)$ の次元を $T$ の階数という。

次の定理が成り立つ。

定理5.3
$T$ がベクトル空間 $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像であるとき、 $T$ の階数は、 $V$ と $V^{\prime}$ の任意の基底に関して $T$ を行列で表現したときの、行列の階数に等しい。
証明：定理5.1から $T$ の行列による表現が標準形になる基底が存在する。このとき、定理5.1の中の議論から、像空間の次元と行列の階数は等しい。また、その他の基底の取り方に関しては、4節の式(3)による関係があり、その行列による表現は互いに基本行列で写り合うことができるので、階数は変わらない。従って、任意の基底の取り方について $T$ の像空間の次元と、 $T$ を表現した行列の階数は等しい。

6. 参考文献
[1] 線型代数入門

線型代数入門（基礎数学） [ 斎藤正彦 ]

価格:2,090円
(2021/12/6 21:07時点)
感想(2件)

2021-08-10

【線形代数学入門】部分空間と直和

線形代数

1. 記事の目的
以下の記事で、部分空間と次元に関して述べた。一般に部分空間の和空間の次元は、和に分ける前の部分空間の次元の和に一致するとは限らない。このとき一致する場合の部分空間の分け方を、部分空間の直和という。本記事では部分空間の直和の定義と同値条件に関して述べる。

camelsan.hatenablog.com

部分空間の定義については、以下を参照。

camelsan.hatenablog.com

2. 部分空間の直和の定義
定義2.1
$V$ をベクトル空間とし、 $W_1, W_2$ を $V$ の部分空間とする。 $V=W_1+W_2$ であり、 $V$ のベクトルを、 $W_1, W_2$ のベクトルの和として表す方法が一意的であるとき、 $V$ は $W_1$ と $W_2$ の直和であるといい、これを

$V=W_1\oplus W_2$

と表す。

例2.2

$\mathbb{R}^2=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} : x,y\in\mathbb{R} \right\}$

とし、

$W_1=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} : x\in\mathbb{R} \right\}, W_2=\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix} : y\in\mathbb{R} \right\}$

とする。このとき $x,y\in\mathbb{R}$ に対して、

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}$

より、 $\mathbb{R}^2=W_1+ W_2$ である。
任意の $(x,y)^{T}\in\mathbb{R}^2$ が、 $\boldsymbol{x}_1=(x_1, 0)^{T}, \boldsymbol{x}_2=(x_2, 0)^{T}\in W_1, \boldsymbol{y}_1=(0, y_1)^{T}, \boldsymbol{y}_2=(0, y_2)^{T}\in W_2$ を用いて、２通りの方法で、

$\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{y}_1=\boldsymbol{x}_2+\boldsymbol{y}_2$

と表されたとする。このとき

$\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{y}_2-\boldsymbol{y}_1$

成分表示すると、

$\begin{pmatrix}x_1-x_2 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ y_1-y_2 \end{pmatrix}$

よって、 $\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_1=\boldsymbol{y}_2$ より、任意の $\mathbb{R}^2$ の元を $W_1, W_2$ の元の和として表す方法は１通りである。従って、

$\mathbb{R}^2=W_1\oplus W_2$

図形的には、２次元平面を縦軸と横軸がなす部分空間に分解したことになる(図１参照)。

f:id:camelsan:20210810170217p:plain — 図１部分空間の直和

3. 部分空間の直和の同値条件
部分空間の直和に関して、次の同値条件が成り立つ。
定理3.1
ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W_1,W_2$ に対し、 $V=W_1+W_2$ であるとき、次の３条件は同値である。
(1) $V=W_1\oplus W_2$
(2) $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{0}\}$
(3) ${\rm{dim}}V={\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}W_2$
証明：(2)が成り立つと仮定すると、下記の記事の定理3.1より ${\rm{dim}}V={\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}W_2$ である。よって(3)が成り立つ。また、(2)を仮定すると、再び同じ定理3.1より、 ${\rm{dim}}W_1\cap W_2=0$ である。 $\{\boldsymbol{0}\}\subset W_1\cap W_2$ かつ ${\rm{dim}}\{\boldsymbol{0}\}=0$ であるから、下記の記事定理2.2(2)より $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{0}\}$ である。よって、(2)が成り立つ。従って(2)と(3)は同値である。

camelsan.hatenablog.com

後は、(1)と(2)の同値性を示せばよい。 $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{0}\}$ とする。 $V$ の元 $\boldsymbol{x}$ が２通りに、

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_1^{\prime}+\boldsymbol{x}_2^{\prime}, \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_1^{\prime}\in W_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_2^{\prime}\in W_2$

と表されれば、

$\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_1^{\prime}=\boldsymbol{x}_2^{\prime}-\boldsymbol{x}_2$

が成り立ち、左辺は $W_1$ 、右辺は $W_2$ の元であるから、ともに $W_1\cap W_2$ の元、すなわち $\{\boldsymbol{0}\}$ である。よって、 $\boldsymbol{x}$ を $W_1$ と $W_2$ の元の和として表す方法は１通りであり、 $V$ は $W_1$ と $W_2$ の直和である。 $W_1\cap W_2$ に $\boldsymbol{0}$ でない元 $\boldsymbol{a}$ があったとすると、

$\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})$

は $\boldsymbol{0}$ の２通りの分解を与えるので、 $V$ は $W_1$ と $W_2$ の直和ではない。よって、(1)と(2)の同値性が成り立つ。

4. ２つ以上の部分空間による直和
ベクトル空間を２つの部分空間の直和に分けたが、これは $k (k\ge 1)$ 個に拡張することができる。すなわち、次のように述べられる。

定義4.1
ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W_1,\dots,W_k$ があり、 $V$ の任意の元が $W_1,\dots,W_k$ の元の和として表されるとき、 $V$ を $W_1,\dots,W_k$ の和空間といい、

$V=W_1+W_2+\dots+W_k$

と書く。特に

$V=W_1\oplus W_2\oplus \dots\oplus W_k$

このとき、次の同値条件が成り立つ。
定理4.2
$V=W_1+W_2+\dots+W_k$ であるとき、次の３条件は同値である。
(1) $V=W_1\oplus W_2\oplus \dots\oplus W_k$
(2) $W_i\cap (W_1+\dots+W_{i-1}+\dots+W_k)=\{\boldsymbol{0}\} (i=1,2,\dots,k)$
(3) ${\rm{dim}}V={\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}W_2+\dots+{\rm{dim}}W_k$
証明： $k$ に関する数学的帰納法によって証明する。 $k=2$ ならば定理3.1により定理が成り立つ。 $k > 2$ とし、 $k-1$ のときは成り立つと仮定する。

$U_i=W_1+\dots+W_{i-1}+W_{i+1}+\dots+W_k (i=1,2,\dots,k)$

とおく。(1) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1)を証明する。
(1) $\Rightarrow$ (3) 仮定より、

$\begin{split} V&=W_1\oplus U_1 \\ U_1&=W_2\oplus W_3\oplus \dots \oplus W_k \end{split}$

が成り立つので、数学的帰納法の仮定より

$\begin{split} {\rm{dim}}V&={\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}U_1 \\ &={\rm{dim}}W_1+\displaystyle\sum_{i=2}^{k}{\rm{dim}}W_i \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\rm{dim}}W_i \end{split}$

(3) $\Rightarrow$ (2) $V=U_i+V_i$ であるから、

${\rm{dim}}U_i \ge {\rm{dim}}V - {\rm{dim}}W_i = \displaystyle\sum_{j\neq i}{\rm{dim}}W_j$

一方 ${\rm{dim}}U_i \ge \displaystyle\sum_{j\neq i}{\rm{dim}}W_j$ であるから

${\rm{dim}}U_i = \displaystyle\sum_{j\neq i}{\rm{dim}}W_j$

よって、(3)の仮定から、

$\begin{split} {\rm{dim}}V &= {\rm{dim}}W_i + \displaystyle\sum_{j\neq i}{\rm{dim}}W_j \\ &={\rm{dim}}W_i+{\rm{dim}}U_i \end{split}$

定理3.1より

$W_i\cap U_i=\{\boldsymbol{0}\}$

となる。
(2) $\rightarrow$ (1) $V$ の元 $\boldsymbol{x}$ が２通りに、

$\boldsymbol{x}=\displaystyle\sum_{j=1}^k\boldsymbol{x}_j=\displaystyle\sum_{j=1}^k\boldsymbol{x}_j^{\prime}, \boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_j^{\prime}\in W_j (j=1,2,\dots,k)$

と表されれば、任意の $i (i=1,2,\dots, k)$ に対して、

$\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_i^{\prime}=\displaystyle\sum_{j\neq i}(\boldsymbol{x}_j^{\prime}-\boldsymbol{x}_j)$

が成り立ち、左辺は $W_i$ の元、右辺は $U_i$ の元であるから、ともに $W_i\cap U_i$ の元、即ち $\boldsymbol{0}$ である。 $i$ は任意であるから $\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_i^{\prime} (i=1,\dots,k)$ より、和の表し方は１通りである。よって、 $V$ は $W_1,W_2,\dots,W_k$ の直和である。

5. 参考文献
[1] 線型代数入門

線型代数入門（基礎数学） [ 斎藤正彦 ]

価格:2,090円
(2021/12/6 21:07時点)
感想(2件)

2021-08-10

【線形代数学入門】部分空間と次元

線形代数

1. 記事の目的
以下の記事で、部分空間の定義について述べた。本記事では、部分空間の次元(ベクトル空間としての次元)で成り立つ定理を証明する。

camelsan.hatenablog.com

2. 線形写像による部分空間の次元
定理2.1
$V, V^{\prime}$ を部分空間、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像、 $\boldsymbol{0}^{\prime}$ を $V^{\prime}$ の零元とする。このとき、

${\rm{dim}}V={\rm{dim}}T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})+{\rm{dim}}T(V)$

が成り立つ。証明： $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_s$ を拡大して、 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ を得たとする。このとき $T(\boldsymbol{e}_{s+1}),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ が $T(V)$ の基底となることを示せば、

$\begin{split} &{\rm{dim}}V=n \\ &{\rm{dim}}T^{\prime}(\boldsymbol{0}^{\prime})=s \\ &{\rm{dim}}T(V)=n-s \end{split}$

となり、定理が証明される。

$T(V)$ の任意の元 $\boldsymbol{x}^{\prime}$ に対し、 $\boldsymbol{x}^{\prime}=T(\boldsymbol{x})$ となる $V$ の元 $\boldsymbol{x}$ が存在する。

$\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{e}_1+\dots+c_s\boldsymbol{e}_s+c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n$

とすると、 $T(\boldsymbol{e}_i)=0 (i=1,2,\dots,s)$ であるから、

$\boldsymbol{x}^{\prime}=T(\boldsymbol{x})=c_{s+1}T(\boldsymbol{e}_{s+1})+\dots+c_nT(\boldsymbol{e}_n)$

よって、 $T(V)$ の任意の元は $T(\boldsymbol{e}_{s+1}),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ の線形結合として表すことができる。

$T(\boldsymbol{e}_{s+1}),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ の線形独立性を示す。

$c_{s+1}T(\boldsymbol{e}_{s+1})+\dots+c_nT(\boldsymbol{e}_n)=\boldsymbol{0}^{\prime}$

とする。このとき、上式の左辺を線形写像の線形性を用いて書き換えることで、

$T(c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n)=c_{s+1}T(\boldsymbol{e}_{s+1})+\dots+c_nT(\boldsymbol{e}_n)=\boldsymbol{0}^{\prime}$

従って、

$c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$

$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_s$ が $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の基底であることから、

$c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n=c_1\boldsymbol{e}_1+\dots+c_s\boldsymbol{e}_s$

移項して

$c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\dots+c_n\boldsymbol{e}_n-c_1\boldsymbol{e}_1-\dots-c_s\boldsymbol{e}_s=0$

$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ の線形独立性から、

$c_1=\dots =c_s=c_{s+1}=\dots =c_n=0$

特に、

$c_{s+1}=\dots =c_n=0$

が成り立つので、 $T(\boldsymbol{e}_{s+1}),T(\boldsymbol{e}_2),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ は線形独立である。よって、 $T(\boldsymbol{e}_{s+1}),T(\boldsymbol{e}_2),\dots,T(\boldsymbol{e}_n)$ は $T(V)$ の基底である。

部分空間の包含と次元に関して次の定理が成り立つ。
定理2.2
$W_1,W_2$ が $V$ の部分空間であるとき
(1) $W_1\subset W_2$ ならば、 ${\rm{dim}}W_1\le {\rm{dim}}W_2$
(2) $W_1\subset W_2$ 、 ${\rm{dim}}W_1= {\rm{dim}}W_2$ ならば $W_1=W_2$
証明：
(1) $W_1$ の基底に、 $s$ 個のベクトル( $s\le 0$ )を付加することで、 $W_2$ の基底とすることができる。よって、

${\rm{dim}}W_2={\rm{dim}}W_1+s \ge {\rm{dim}}W_1$

(2) ${\rm{dim}}W_1={\rm{dim}}W_2$ より、(1)の証明の第１行で $s=0$ となるので、 $W_1$ と $W_2$ の基底として同一のものをとることができる。よって $W_1=W_2$ 。(任意の元 $\boldsymbol{x}\in W_2$ をとると、 $W_1$ と同一の基底の線形結合として表すことができるので、 $\boldsymbol{x}\in W_1$ である。よって $W_2\subset W_1$ 。従って、 $W_1\subset W_2$ と合わせて得られる。)

3. 部分空間の和空間の次元
一般に、部分空間の和空間の次元は、それぞれの部分空間の次元の和とは一致しない。共通部分を考慮することで、実際には次が成り立つ。
定理3.1
$W_1, W_2$ が $V$ の部分空間であるとき、

${\rm{dim}}W_1+{\rm{dim}}W_2={\rm{dim}}(W_1+W_2)+{\rm{dim}}(W_1\cap W_2)$

証明： ${\rm{dim}}W_1\cap W_2=r$ とおくと、 $W_1\cap W_2\subset W_1$ 、 $W_1\cap W_2\subset W_2$ より、いくつかのベクトルを付け加えることで、 ${\rm{dim}}W_1=r+s$ 、 ${\rm{W_2}}=r+t$ とおく。このとき、 ${\rm{dim}}=r+s+t$ を証明すればよい。
$W_1\cap W_2$ の基底を $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r$ として、これにいくつかのベクトルを付け加えることで、 $W_1$ の基底 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s$ 、および、 $W_2$ の基底 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ を得たとする。このとき、 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s ,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ が $W_1+W_2$ の基底になることを証明する。
$W_1+W_2$ の任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ は、 $\boldsymbol{x}_1\in W_1, \boldsymbol{x}_2\in W_2$ の和として、 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2$ と書くことができる。よって、 $\boldsymbol{x}$ は $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s ,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ の線形結合として表される。
次に、 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s ,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ の線形独立性を証明する。次の線形関係があったとする。

$\displaystyle\sum_{i=1}^{r}a_i\boldsymbol{a}_i+\displaystyle\sum_{j=1}^{s}b_j\boldsymbol{b}_j+\displaystyle\sum_{k=1}^{t}c_k\boldsymbol{c}_k=\boldsymbol{0}\tag{1}$

があるとする。式(1)の第３項を移項して、

$\displaystyle\sum_{i=1}^{r}a_i\boldsymbol{a}_i+\displaystyle\sum_{j=1}^{s}b_j\boldsymbol{b}_j=-\displaystyle\sum_{k=1}^{t}c_k\boldsymbol{c}_k\tag{2}$

を得る。式(2)の左辺は $W_1$ の元、右辺は $W_2$ の元であるから、左辺と右辺はともに $W_1\cap W_2$ の元である。よって、

$-\displaystyle\sum_{k=1}^{t}c_k\boldsymbol{c}_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{r}a^{\prime}_i\boldsymbol{a}_i$

$\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ の線形独立性により、

$a_1^{\prime}=a_2^{\prime}=\dots=a_r^{\prime}=0, c_1=c_2=\dots=c_t=0\tag{3}$

式(3)を式(2)に代入して、

$\displaystyle\sum_{i=1}^{r}a_i\boldsymbol{a}_i+\displaystyle\sum_{j=1}^{s}b_j\boldsymbol{b}_j=\boldsymbol{0}$

$\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s$ の線形独立性により、

$a_1=a_2=\dots=a_r=0, b_1=b_2=\dots=b_s=0$

従って、式(1)は自明な線形関係であり、 $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_r, \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_s ,\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_t$ は線形独立である。

4. 参考文献
[1] 線型代数入門

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2021-08-09

【線形代数学入門】部分空間の定義

線形代数

1. 記事の目的
以下の記事でベクトル空間について述べた。ベクトル空間の部分集合で、同じ演算に関して再びベクトル空間になるような集合を、そのベクトル空間の部分空間という。本記事では部分空間の定義について述べる。

camelsan.hatenablog.com

2. 部分空間の定義
早速、部分空間を定義する。

定義
$V$ を $\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )上のベクトル空間とし、 $W \neq \emptyset$ を $V$ の部分集合とする。 $W$ が次の２条件を満たすとき、 $W$ を $V$ の部分集合という。
(1) $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W$ ならば、 $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W$
(2) $\boldsymbol{x}$ , $\alpha\in\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )ならば、 $\alpha\boldsymbol{x}\in W$
即ち、 $W$ が $V$ の部分集合で、 $V$ と同じ演算に関してベクトル空間になるような集合を部分空間という。

$\{\boldsymbol{0}\}$ oおよび $V$ は $V$ の部分空間であり、これ以外の部分空間を、真の部分空間という。

例2.1

$\mathbb{R}^2=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} : x, y \in \mathbb{R}\right\}$

において、

$W=\left\{\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} : x \in \mathbb{R}\right\}$

は、 $\mathbb{R}^2$ の部分集合である。実際、

$\begin{pmatrix}x_1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ 0 \end{pmatrix}$

に対し、

$\begin{pmatrix}x_1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y_1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ 0 \end{pmatrix}\in W$

また、

$\alpha\in\mathbb{R}, \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}\in W$

に対し、

$\alpha \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha x \\ 0 \end{pmatrix} \in W$

より、 $W$ は $\mathbb{R}^2$ の部分空間である。 $W$ は図形的には、２次元平面の中の、直線に対応する(図１参照)。

f:id:camelsan:20210808210104p:plain — 図１部分空間の例

3. 部分空間の生成
"いくつかの部分空間"や"ベクトル"、"写像"から別の部分空間を生成することが出来る。
以下で、 $V$ は $\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )上のベクトル空間とする。

まず、いくつかの部分空間から別の部分空間を作る方法について述べる。

定理3.1
$W_1$ と $W_2$ が $V$ の部分空間ならば、それらの共通部分 $W_1\cap W_2$ も $V$ の部分空間である。
証明：
(1)

$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in W_1\cap W_2$

とすると、 $W_1$ と $W_2$ は各々部分空間なので、

$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\in W_1, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\in W_2$

よって、

$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\in W_1\cap W_2$

また、 $\alpha\in\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{x}\in W_1\cap W_2$ とすると

$\alpha \boldsymbol{x}\in W_1, \alpha \boldsymbol{x}\in W_2$

よって、

$\alpha \boldsymbol{x}\in W_1\cap W_2$

従って、 $W_1\cap W_2$ は部分空間である。

定理3.2
$W_1, W_2$ が $V$ の部分空間であるとき、 $W_1$ の元と $W_2$ の元との和として表されるベクトルの全体、

$\{ \boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2 : x_1\in W_1, x_2\in W_2 \}$

は $V$ の部分空間である。
証明：

$W_1+W_2 = \{ \boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2 : x_1\in W_1, x_2\in W_2 \}$

と表すことにする。
(1) $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2\in W$ とする。 $W_1$ と $W_2$ が $V$ の部分空間であることにより、

$(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)+(\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2)=(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x}_2+\boldsymbol{y}_2)\in W_1+W_2$

(2) $\alpha\in \mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2\in W$ とする。 $W_1$ と $W_2$ が $V$ の部分空間であることにより、

$\alpha(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)=\alpha\boldsymbol{x}_1+\alpha\boldsymbol{y}_1 \in W_1+W_2$

以上より、 $W_1+W_2$ は $V$ の部分空間である。

定理3.2における、 $W_1+W_2$ を $W_1$ と $W_2$ との和空間という。

ベクトル空間 $V$ のいくつかの元から生成される部分空間について述べる。
定理3.3
$V$ の空でない部分集合 $S$ に対して、 $S$ のいくつかの元の線形結合の全体

$\{ c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k : kは自然数, c_i\in \mathbb{R} (または\mathbb{C}), \boldsymbol{x}_i\in S (i=1,\dots, k) \}$

は $V$ の部分空間である。
証明：

$\begin{split} &\langle S \rangle \\ &= \{ c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k : kは自然数, c_i\in \mathbb{R} (または\mathbb{C}), \boldsymbol{x}_i\in S (i=1,\dots, k) \} \end{split}$

と表すことにする。
(1) $c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k, d_1\boldsymbol{y}_1+d_2\boldsymbol{y}_2+\dots+d_k\boldsymbol{y}_s \in \langle S \rangle$ をとると、 $\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{y}_i \in S$ より、

$c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k+d_1\boldsymbol{y}_1+d_2\boldsymbol{y}_2+\dots+d_k\boldsymbol{y}_s \in \langle S \rangle$

(2) $\alpha \in \mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k \in \langle S \rangle$ とすると

$\begin{split} &\alpha (c_1\boldsymbol{x}_1+c_2\boldsymbol{x}_2+\dots+c_k\boldsymbol{x}_k) \\ &=(\alpha c_1) \boldsymbol{x}_1+(\alpha c_2) \boldsymbol{x}_2+\dots+(\alpha c_k) \boldsymbol{x}_k \in \langle S \rangle \end{split}$

よって、 $\langle S \rangle$ は $V$ の部分空間である。

$\langle S \rangle$ を、 $S$ から生成される部分空間という。

線形写像から得られる部分空間について述べる。
定理3.4
$V, V^{\prime}$ を線形空間、 $T$ を $V$ から $V^{\prime}$ への線形写像とする。このとき、 $V$ による $T$ の像 $T(V)$ は $V^{\prime}$ の部分空間である。また、 $V^{\prime}$ の零ベクトル $\boldsymbol{0}^{\prime}$ の $T$ による逆像

$T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})=\{ \boldsymbol{x}\in V : T(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}^{\prime} \}$

は $V$ の部分空間である。
証明： $T(V)$ が部分空間であることを証明する。
(1) $\boldsymbol{y}_1, \boldsymbol{y}_2 \in T(V)$ とする。このとき、ある $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2 \in V$ があって

$\boldsymbol{y}_1=T(\boldsymbol{x}_1), \boldsymbol{y}_2=T(\boldsymbol{x}_2)$

と表すことができる。このとき、 $T$ が線形写像であることと、 $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2\in V$ より

$\begin{split} \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2 &= T(\boldsymbol{x}_1)+T(\boldsymbol{x}_2) \\ &=T(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2) \in T(V) \end{split}$

(2) $\alpha \in \mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{y}\in T(V)$ とする。このとき、ある $\boldsymbol{x}\in V$ があって、 $\boldsymbol{y}=T(\boldsymbol{x})$ より、

$\alpha\boldsymbol{y}=\alpha T(\boldsymbol{x})=T(\alpha\boldsymbol{x})\in T(V)$

以上より、 $T(V)$ は部分空間である。

$T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ が部分空間であることを証明する。
(1) $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ とする。ここで、逆像の定義より、 $T(\boldsymbol{x}_1)=T(\boldsymbol{x}_2)=\boldsymbol{0}^{\prime}$ である。このとき

$T(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)=T(\boldsymbol{x}_1)+T(\boldsymbol{x}_2)=\boldsymbol{0}^{\prime}+\boldsymbol{0}^{\prime}=\boldsymbol{0}^{\prime}$

より、

$\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2 \in T^{\prime}(\boldsymbol{0}^{\prime})$

(2) $\alpha \in \mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )、 $\boldsymbol{x} \in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ とする。ここで、 $T(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}^{\prime}$ である。このとき

$T(\alpha \boldsymbol{x})=\alpha T(\boldsymbol{x})=\alpha\cdot\boldsymbol{0}^{\prime}=\boldsymbol{0}^{\prime}$

より

$\alpha\boldsymbol{x} = T^{\prime}(\boldsymbol{0}^{\prime})$

以上より、 $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ は $V$ の部分空間である。

$T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ を $T$ の核という。

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2021-07-24

【線形代数学入門】基底と次元

線形代数

1. 記事の目的
以下の記事でベクトル空間の次元について述べた。基底とはベクトル空間の元を線型結合として表す基本的な元のことであったが、その存在性を示した。本記事では基底の個数の一意性を示し、その個数として、ベクトル空間の次元を定義する。

camelsan.hatenablog.com

2. 基底の数の一意性
零でないベクトル空間において、基底は必ず存在するが、その取り方は一通りとは限らない。

例： $\mathbb{R}^2$ において、

$\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$

は基底であるが、

$\boldsymbol{a}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}, \boldsymbol{a}_2=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$

も $\mathbb{R}^2$ の基底である。実際

$0=c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2= \begin{pmatrix} c_1 \\ c_1 + c_2 \end{pmatrix}$

より、 $c_1=c_2=0$ である。よって、 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2$ は、線型独立である。また任意のベクトル ${(x,y)}^T$ は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\boldsymbol{a}_1+(y-x)\boldsymbol{a}_2$

と表すことができる。よって、 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2$ も $\mathbb{R}^2$ の基底である。

しかし、どの基底も、必ず同じ数のベクトルからなることが証明される。そのために次の３つの定理を証明する。

定理3.1
$V, V^{\prime}$ を、 $\mathbb{R}$ ( または $\mathbb{C}$ )上の同型なベクトル空間とし、 $\varphi$ をその $V$ から $V^{\prime}$ への同型写像とする。また、 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_k\in V$ とする。このとき、 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_k$ が線型独立(または線形従属)ならば、 $\varphi(\boldsymbol{a}_1),\varphi(\boldsymbol{a}_2),\dots,\varphi(\boldsymbol{a}_k)$ も線型独立(または線形従属)である。
証明： $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_k$ が線型独立であると仮定する。

$c_1\varphi(\boldsymbol{a}_1)+c_2\varphi(\boldsymbol{a}_2)+\dots+c_k\varphi(\boldsymbol{a}_k)=\boldsymbol{0}^{\prime}$

とする( $\boldsymbol{0^{\prime}}$ は $V^{\prime}$ の零元)。このとき、線型性より

$\varphi(c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2+\dots+c_k\boldsymbol{a}_k)=\varphi(\boldsymbol{0})\tag{1}$

ここで右辺は、 $\boldsymbol{0^{\prime}}=\varphi(\boldsymbol{0})$ であることを使った( $\boldsymbol{0}$ は $V$ の零元)。これは次のように証明できる。

$\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}$

より、

$\begin{split} \varphi(\boldsymbol{0})&=\varphi(\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}) \\ &=\varphi(\boldsymbol{0})+\varphi(\boldsymbol{0}) \end{split}$

両辺に $\varphi(\boldsymbol{0})$ の逆ベクトルを加えると、

より、

$\begin{split} \boldsymbol{0}^{\prime}&=\varphi(\boldsymbol{0})+\varphi(\boldsymbol{0})-\varphi(\boldsymbol{0}) \\ &=\varphi(\boldsymbol{0}) \end{split}$

$\varphi$ は同型写像なので。逆写像 $\varphi^{-1}$ が存在する。式(1)の両辺を $\varphi^{-1}$ で写すと、

$\begin{split} 左辺&=\varphi^{-1}(\varphi(c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2+\dots+c_k\boldsymbol{a}_k ) ) \\ &=c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2+\dots+c_k\boldsymbol{a}_k \\ 右辺&=\varphi^{-1}(\boldsymbol{0}) )=\boldsymbol{0} \end{split}$

よって、

$c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2+\dots+c_k\boldsymbol{a}_k=\boldsymbol{0}$

$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_k$ は線型独立なので、

$c_1=c_2=\dots=c_k=0$

よって、 $\varphi(\boldsymbol{a}_1),\varphi(\boldsymbol{a}_2),\dots,\varphi(\boldsymbol{a}_k)$ は線型独立である。

また、 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_k$ が線型従属と仮定すると、自明でない線形関係

$c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2+\dots+c_k\boldsymbol{a}_k=\boldsymbol{0}\tag{2}$

がある。式(2)の両辺を $\varphi$ で写すと、線型性より

$c_1\varphi(\boldsymbol{a}_1)+c_2\varphi(\boldsymbol{a}_2)+\dots+c_k\varphi(\boldsymbol{a}_k)=\boldsymbol{0}^{\prime}$

よって、これは $\varphi(\boldsymbol{a}_1),\varphi(\boldsymbol{a}_2),\dots,\varphi(\boldsymbol{a}_k)$ の自明でない線形関係である。よって、 $\varphi(\boldsymbol{a}_1),\varphi(\boldsymbol{a}_2),\dots,\varphi(\boldsymbol{a}_k)$ は線型従属である。

定理3.2
$\mathbb{R}$ (または $\mathbb{C}$ )上のベクトル空間 $V$ が $n$ 個からなる基底を持てば、 $V$ は $\mathbb{R}^n$ (または $\mathbb{C}^n$ )に同型である。
証明： $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間について証明する( $\mathbb{C}$ も同様)。 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_k$ が $V$ の基底ならば、 $V$ の任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ は

$\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n\tag{3}$

と表される。このとき

$\varphi:V\rightarrow \mathbb{R}^n;\boldsymbol{x}\mapsto \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

と定義する。このとき、 $\boldsymbol{x}$ の表示方法が２つあったとすれば、同じ元にも拘わらず、 $\varphi$ の行き先が２通りになる可能性がある。写像は、１つの定義域の元に対し、１つの値域の元を対応させる規則なので、上記の可能性があるとすれば、写像の定義として不適切である。但し、この場合は基底を使用して式(3)の表示方法は一通りであり、上記の可能性は否定される。実際、式(3)で２通りの表示方法があるとすれば、

$x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n=y_1\boldsymbol{e}_1+y_2\boldsymbol{e}_2+\dots+y_n\boldsymbol{e}_n$

より、

$(x_1-y_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2-y_2)\boldsymbol{e}_2+\dots+(x_n-y_n)\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}$

$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_k$ の線型独立性から、

$x_i=y_i, (i=1,\dots,n)$

である。よって、 $\varphi$ は写像として定義されている( $\varphi$ はwell-definedであるという)。

$\varphi$ は同型写像であることが証明できる。実際、任意の $\mathbb{R}^n$ の元

$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

をとると、 $V$ の元 $\boldsymbol{y}=y_1\boldsymbol{e}_1+y_2\boldsymbol{e}_2+\dots+y_n\boldsymbol{e}_n$ を $\varphi$ で写すと、

$\varphi(\boldsymbol{y})=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

より全射である。また、２元 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in V$ に対し、

$\begin{split} \boldsymbol{x}&=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\dots+x_n\boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{y}&=y_1\boldsymbol{e}_1+y_2\boldsymbol{e}_2+\dots+y_n\boldsymbol{e}_n \end{split}$

と表されているとする。このとき $\varphi(\boldsymbol{x})=\varphi(\boldsymbol{y})$ とすると、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

よって、

$x_i=y_i, (i=1,\dots,n)$

より、

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$

よって、 $\varphi$ は単射である。線形写像であることは、ベクトルの和の規則などから証明できる。従って、 $\varphi$ は $V$ と $\mathbb{R}^n$ の間の同型写像である。

定理3.3
$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする。
$K$ において、 $n$ 個より多くのベクトルは線形従属である。とくに、 $m\neq n$ ならば、 $K^m$ と $K^n$ は同型ではない。
証明： $K^n$ の元 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_m, (m>n)$ によって与えられる、 $m$ 個の未知数 $x_1,\dots,x_m$ に関する $n$ 個の斉次一次方程式

$x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+\dots+x_m\boldsymbol{a}_m=\boldsymbol{0}$

は、以下の記事の定理7.1より、自明でない解をもつ。これは $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_m, (m>n)$ が線形従属であることを示す。

camelsan.hatenablog.com

$K^m$ と $K^n$ が同型であるとすると、 $K^m$ の $m$ 個の単位ベクトル $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_m$ に対応する $K^n$ の $m$ 個のベクトルは定理5.1より線型独立である。 $n \lt m$ とすると、上で証明したことにより、 $K^n$ で $n$ 個より多くのベクトルは線形従属であるので矛盾する。よって、 $n\geq m$ である。同様に、 $K^m$ 内の単位ベクトル $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\dots,\boldsymbol{e}_n$ に関して、。同じ議論をすれば、 $n\leq m$ が言える。よって、 $m=n$ である。対偶をとって、 $m\neq n$ ならば、 $K^m$ と $K^n$ は同型ではないことが証明された。

以上の定理から、基底の個数の一意性を示す次の定理を証明することができる。
定理3.4
$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする。
$K$ 上のベクトル空間 $V$ が $n$ 個のベクトルからなる基底を持てば、 $n$ 個より多くのベクトルは線形従属である。とくに、 $V$ の任意の基底の個数は $n$ 個である。
証明：定理3.2より、 $V$ は $K^n$ に同型である。従って、定理3.1と定理3.3より $V$ で $n$ 個より多くのベクトルは線形従属である。
(正確には定理3.1と定理3.3を次のように使用した。 $V$ の $m$ 個のベクトルを考える。この $m$ 個のベクトルを同型写像 $\varphi:V\rightarrow K^n$ で写す。このとき定理3.3より、写された $m$ 個のベクトルは線形従属である。定理3.1より写像で写される前の元も線形従属となるので、最初に考えた $m$ 個のベクトルは、 $V$ で線形従属である。)

$V$ が $m$ 個の元からなる基底を持てば、定理3.2より、 $V$ は $K^m$ にも同型である。よって、 $K^m$ と $K^n$ が同型となり、定理3.3より $m=n$ である。

定理5.3からベクトル空間の基底の個数は常に一定であることから、ベクトル空間の次元を次のように定義できる。

定義
有限次元ベクトル空間 $V$ の基底が含んでいるベクトルの数 $n$ (基底に依らず一意に決まる)を、ベクトル空間の次元といい、 $\rm{dim} V$ とあらわす。

4. 参考文献
[1] 線型代数入門

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